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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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bearbeitet von akukin
am 2026/02/02 19:52
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/29 08:39
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -10,23 +10,11 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
13 +
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 16  <br>
17 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 -<br>
19 -{{formula}}
20 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 -{{/formula}}
22 -<br>
23 -{{formula}}
24 -\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 -{{/formula}}
26 -<br>
27 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 -<p></p>
29 -//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
17 +
30 30  {{/detail}}
31 31  
32 32  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -38,17 +38,15 @@
38 38  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 39  //Aufgabenstellung//
40 40  <br><p>
41 -Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
29 +
42 42  </p>
43 43  //Lösung//
44 44  <br>
45 -Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 -[[image:Lösungb).png||width="300"]]
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe c) ===
50 50  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
51 -Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
37 +Ebene durch ABC:
52 52  {{formula}}
53 53  \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
54 54  {{/formula}}
... ... @@ -85,48 +85,10 @@
85 85  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 86  //Aufgabenstellung//
87 87  <br><p>
88 -Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
74 +
89 89  </p>
90 90  //Lösung//
91 91  <br>
92 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 -<br>
94 -{{formula}}
95 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
96 -{{/formula}}
97 -<br>
98 -{{formula}}
99 -\vec{x}=
100 -\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
101 -+s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
102 -+t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
103 -{{/formula}}
104 -
105 -<p></p>
106 -
107 -Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
108 -<br>
109 -{{formula}}
110 -\begin{align*}
111 -(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
112 -(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
113 -\end{align*}
114 -{{/formula}}
115 -<br>
116 -Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
117 -<br>
118 -{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
119 -<br>
120 -Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
121 -<br>
122 -{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
123 -<p></p>
124 -Das LGS hat somit die Lösung
125 -{{formula}}
126 -s=t=\frac{1}{4}
127 -{{/formula}}.
128 -<br>
129 -Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
130 130  {{/detail}}
131 131  
132 132  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -153,37 +153,10 @@
153 153  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
154 154  //Aufgabenstellung//
155 155  <br><p>
156 -Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
157 -Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
158 -<br>
159 -Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
104 +
160 160  </p>
161 161  //Lösung//
162 162  <br>
163 -Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
164 -<br>
165 -Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
166 -<br>
167 -{{formula}}
168 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
169 -=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
170 -=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
171 -=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
172 -{{/formula}}
173 -<br>
174 -Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
175 -<br>
176 -{{formula}}
177 -\begin{align*}
178 -\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 -=\frac{2}{3} \\
183 -\Rightarrow
184 -\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
185 -\end{align*}
186 -{{/formula}}
187 187  {{/detail}}
188 188  
189 189  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -214,11 +214,7 @@
214 214  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
215 215  //Aufgabenstellung//
216 216  <br><p>
217 -Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 -* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 -* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 -<br>
221 -Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
138 +
222 222  </p>
223 223  //Lösung//
224 224  <br>