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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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am 2026/02/16 17:19
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -43,6 +43,8 @@
43 43  //Lösung//
44 44  <br>
45 45  Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 +<br>
47 +
46 46  [[image:Lösungb).png||width="300"]]
47 47  {{/detail}}
48 48  
... ... @@ -89,7 +89,7 @@
89 89  </p>
90 90  //Lösung//
91 91  <br>
92 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
94 +Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 93  <br>
94 94  {{formula}}
95 95  \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
... ... @@ -177,8 +177,8 @@
177 177  \begin{align*}
178 178  \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 179  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 +=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
183 +=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
182 182  =\frac{2}{3} \\
183 183  \Rightarrow
184 184  \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
... ... @@ -192,7 +192,7 @@
192 192  <p></p>
193 193  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
194 194  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
195 -dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
197 +dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
196 196  <p></p>
197 197  Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
198 198  <br>
... ... @@ -213,15 +213,38 @@
213 213  
214 214  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
215 215  //Aufgabenstellung//
216 -<br><p>
218 +<br>
217 217  Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 218  * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 219  * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 -<br>
222 +
221 221  Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
222 -</p>
224 +<p></p>
223 223  //Lösung//
224 224  <br>
227 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
228 +Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
229 +<p></p>
230 +Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
231 +<br>
232 +Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
233 +<p></p>
234 +Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge.
235 +<p></p>
236 +Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
237 +<br>
238 +{{formula}}
239 +\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
240 +=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
241 ++\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
242 +=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
243 +G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
244 +{{/formula}}
245 +<p></p>
246 +Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
247 +\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
248 +G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
249 +{{/formula}}
225 225  {{/detail}}
226 226  
227 227