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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -10,23 +10,11 @@
10 10  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 11  //Aufgabenstellung//
12 12  <br><p>
13 -Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
13 +
14 14  </p>
15 15  //Lösung//
16 16  <br>
17 -Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 -<br>
19 -{{formula}}
20 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 -{{/formula}}
22 -<br>
23 -{{formula}}
24 -\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 -{{/formula}}
26 -<br>
27 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 -<p></p>
29 -//Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
17 +
30 30  {{/detail}}
31 31  
32 32  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -38,21 +38,17 @@
38 38  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 39  //Aufgabenstellung//
40 40  <br><p>
41 -Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
29 +
42 42  </p>
43 43  //Lösung//
44 44  <br>
45 -Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 -<br>
47 -
48 -[[image:Lösungb).png||width="300"]]
49 49  {{/detail}}
50 50  
51 51  === Teilaufgabe c) ===
52 52  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
53 -Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
37 +Ebene durch ABC:
54 54  {{formula}}
55 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
39 +\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD},\quad s,t\in\mathbb{R}
56 56  {{/formula}}
57 57  <br>
58 58  {{formula}}
... ... @@ -78,8 +78,8 @@
78 78  hat die Lösung
79 79  {{formula}}
80 80  s=t=\frac{1}{4}
81 -{{/formula}}.
82 -<br>
65 +{{/formula}}
66 +
83 83  Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
84 84  {{/detail}}
85 85  
... ... @@ -87,48 +87,10 @@
87 87  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
88 88  //Aufgabenstellung//
89 89  <br><p>
90 -Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
74 +
91 91  </p>
92 92  //Lösung//
93 93  <br>
94 -Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
95 -<br>
96 -{{formula}}
97 -\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
98 -{{/formula}}
99 -<br>
100 -{{formula}}
101 -\vec{x}=
102 -\begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
103 -+s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
104 -+t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
105 -{{/formula}}
106 -
107 -<p></p>
108 -
109 -Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
110 -<br>
111 -{{formula}}
112 -\begin{align*}
113 -(1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
114 -(2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
115 -\end{align*}
116 -{{/formula}}
117 -<br>
118 -Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
119 -<br>
120 -{{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
121 -<br>
122 -Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
123 -<br>
124 -{{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
125 -<p></p>
126 -Das LGS hat somit die Lösung
127 -{{formula}}
128 -s=t=\frac{1}{4}
129 -{{/formula}}.
130 -<br>
131 -Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
132 132  {{/detail}}
133 133  
134 134  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -136,7 +136,7 @@
136 136  Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
137 137  <br>
138 138  {{formula}}
139 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
85 +\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}
140 140  =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
141 141  =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
142 142  =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
... ... @@ -155,46 +155,19 @@
155 155  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
156 156  //Aufgabenstellung//
157 157  <br><p>
158 -Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
159 -Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
160 -<br>
161 -Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
104 +
162 162  </p>
163 163  //Lösung//
164 164  <br>
165 -Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
166 -<br>
167 -Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
168 -<br>
169 -{{formula}}
170 -\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
171 -=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
172 -=\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
173 -=16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
174 -{{/formula}}
175 -<br>
176 -Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
177 -<br>
178 -{{formula}}
179 -\begin{align*}
180 -\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
181 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
182 -=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
183 -=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
184 -=\frac{2}{3} \\
185 -\Rightarrow
186 -\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
187 -\end{align*}
188 -{{/formula}}
189 189  {{/detail}}
190 190  
191 191  === Teilaufgabe e) ===
192 192  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
193 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
112 +Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x1x3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
194 194  <p></p>
195 195  Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
196 196  entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
197 -dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
116 +dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
198 198  <p></p>
199 199  Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
200 200  <br>
... ... @@ -202,7 +202,7 @@
202 202  \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
203 203  =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
204 204  +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
205 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
124 +=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix},
206 206  G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
207 207  {{/formula}}
208 208  <p></p>
... ... @@ -215,38 +215,11 @@
215 215  
216 216  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
217 217  //Aufgabenstellung//
218 -<br>
219 -Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
220 -* Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
221 -* Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
137 +<br><p>
222 222  
223 -Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
224 -<p></p>
139 +</p>
225 225  //Lösung//
226 226  <br>
227 -Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene{{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
228 -Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
229 -<p></p>
230 -Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
231 -<br>
232 -Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
233 -<p></p>
234 -Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge.
235 -<p></p>
236 -Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
237 -<br>
238 -{{formula}}
239 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
240 -=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
241 -+\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
242 -=\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
243 -G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
244 -{{/formula}}
245 -<p></p>
246 -Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
247 -\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
248 -G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
249 -{{/formula}}
250 250  {{/detail}}
251 251  
252 252