Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -179,8 +179,8 @@
179	179	\begin{align*}
180	180	\cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
181	181	\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
182		-=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
183		-=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
	182	+=\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
	183	+=\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
184	184	=\frac{2}{3} \\
185	185	\Rightarrow
186	186	\alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
...	...	@@ -224,7 +224,7 @@
224	224	<p></p>
225	225	//Lösung//
226	226	<br>
227		-Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene{{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
	227	+Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
228	228	Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
229	229	<p></p>
230	230	Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
...	...	@@ -231,9 +231,9 @@
231	231	<br>
232	232	Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
233	233	<p></p>
234		-Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge.
	234	+Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
235	235	<p></p>
236		-Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
	236	+Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
237	237	<br>
238	238	{{formula}}
239	239	\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}