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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 11.1 von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:39
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
6 {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
13 Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
14 </p>
15 //Lösung//
16 <br>
17 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 <br>
19 {{formula}}
20 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 {{/formula}}
22 <br>
23 {{formula}}
24 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 {{/formula}}
26 <br>
27 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 <p></p>
29 //Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
30 {{/detail}}
31
32 === Teilaufgabe b) ===
33 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
34 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
35 {{/detail}}
36
37
38 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 //Aufgabenstellung//
40 <br><p>
41 Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
42 </p>
43 //Lösung//
44 <br>
45 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 <br>
47
48 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
49 {{/detail}}
50
51 === Teilaufgabe c) ===
52 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
53 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
54 {{formula}}
55 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
56 {{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}
59 \vec{x}=
60 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
61 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
62 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
63 {{/formula}}
64
65 <br>
66
67 Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}}
68 <br>
69 Das LGS
70 <br>
71 {{formula}}
72 \begin{align*}
73 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
74 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
75 \end{align*}
76 {{/formula}}
77 <br>
78 hat die Lösung
79 {{formula}}
80 s=t=\frac{1}{4}
81 {{/formula}}.
82 <br>
83 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
84 {{/detail}}
85
86
87 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
88 //Aufgabenstellung//
89 <br><p>
90 Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
91 </p>
92 //Lösung//
93 <br>
94 Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
95 <br>
96 {{formula}}
97 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
98 {{/formula}}
99 <br>
100 {{formula}}
101 \vec{x}=
102 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
103 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
104 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
105 {{/formula}}
106
107 <p></p>
108
109 Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
110 <br>
111 {{formula}}
112 \begin{align*}
113 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
114 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
115 \end{align*}
116 {{/formula}}
117 <br>
118 Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
119 <br>
120 {{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
121 <br>
122 Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
123 <br>
124 {{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
125 <p></p>
126 Das LGS hat somit die Lösung
127 {{formula}}
128 s=t=\frac{1}{4}
129 {{/formula}}.
130 <br>
131 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
132 {{/detail}}
133
134 === Teilaufgabe d) ===
135 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
136 Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
137 <br>
138 {{formula}}
139 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
140 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
141 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
142 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
143 {{/formula}}
144 <br>
145
146 {{formula}}
147 \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
148 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1}
149 =\frac{2}{3} \Rightarrow
150 \alpha\approx48{,}2^\circ
151 {{/formula}}
152 {{/detail}}
153
154
155 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
156 //Aufgabenstellung//
157 <br><p>
158 Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
159 Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
160 <br>
161 Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
162 </p>
163 //Lösung//
164 <br>
165 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
166 <br>
167 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
168 <br>
169 {{formula}}
170 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
171 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
172 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
173 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
174 {{/formula}}
175 <br>
176 Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
177 <br>
178 {{formula}}
179 \begin{align*}
180 \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
181 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
182 =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
183 =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
184 =\frac{2}{3} \\
185 \Rightarrow
186 \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
187 \end{align*}
188 {{/formula}}
189 {{/detail}}
190
191 === Teilaufgabe e) ===
192 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
193 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
194 <p></p>
195 Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
196 entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
197 dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
198 <p></p>
199 Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
200 <br>
201 {{formula}}
202 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
203 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
204 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
205 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
206 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
207 {{/formula}}
208 <p></p>
209 Bemerkung: Der Ansatz {{formula}}
210 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}}
211 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
212 {{/formula}}
213 {{/detail}}
214
215
216 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
217 //Aufgabenstellung//
218 <br>
219 Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
220 * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
221 * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
222
223 Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
224 <p></p>
225 //Lösung//
226 <br>
227 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
228 Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
229 <p></p>
230 Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
231 <br>
232 Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
233 <p></p>
234 Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
235 <p></p>
236 Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
237 <br>
238 {{formula}}
239 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
240 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
241 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
242 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
243 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
244 {{/formula}}
245 <p></p>
246 Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
247 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
248 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
249 {{/formula}}
250 {{/detail}}