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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43
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Anna Kukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
Anna Kukin 3.1 4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
Anna Kukin 1.1 6 {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
Anna Kukin 5.1 13 Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
Anna Kukin 1.1 14 </p>
15 //Lösung//
Marcel Haidle 11.2 16 [[image:Skizze-Teilaufgabe-a.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
Anna Kukin 1.1 17 <br>
Marcel Haidle 11.2 18 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
Anna Kukin 5.1 19 <br>
20 {{formula}}
21 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
22 {{/formula}}
23 <br>
24 {{formula}}
25 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
26 {{/formula}}
27 <br>
28 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
29 <p></p>
30 //Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
Anna Kukin 1.1 31 {{/detail}}
32
33 === Teilaufgabe b) ===
34 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
35 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
36 {{/detail}}
37
38
39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 //Aufgabenstellung//
41 <br><p>
Anna Kukin 5.1 42 Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Anna Kukin 1.1 43 </p>
44 //Lösung//
45 <br>
Anna Kukin 5.1 46 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
Anna Kukin 6.1 47 <br>
48
Anna Kukin 5.1 49 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
Anna Kukin 1.1 50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
Anna Kukin 5.1 54 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
Anna Kukin 1.1 55 {{formula}}
Anna Kukin 4.1 56 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
Anna Kukin 1.1 57 {{/formula}}
58 <br>
59 {{formula}}
60 \vec{x}=
61 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
62 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
63 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
64 {{/formula}}
65
66 <br>
67
68 Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}}
69 <br>
70 Das LGS
71 <br>
72 {{formula}}
73 \begin{align*}
74 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
75 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
76 \end{align*}
77 {{/formula}}
78 <br>
79 hat die Lösung
80 {{formula}}
81 s=t=\frac{1}{4}
Anna Kukin 4.1 82 {{/formula}}.
83 <br>
Anna Kukin 1.1 84 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
85 {{/detail}}
86
87
88 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89 //Aufgabenstellung//
90 <br><p>
Anna Kukin 5.1 91 Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
Anna Kukin 1.1 92 </p>
93 //Lösung//
94 <br>
Anna Kukin 6.2 95 Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
Anna Kukin 5.1 96 <br>
97 {{formula}}
98 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
99 {{/formula}}
100 <br>
101 {{formula}}
102 \vec{x}=
103 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
104 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
105 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
106 {{/formula}}
107
108 <p></p>
109
110 Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
111 <br>
112 {{formula}}
113 \begin{align*}
114 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
115 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
116 \end{align*}
117 {{/formula}}
118 <br>
119 Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
120 <br>
121 {{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
122 <br>
123 Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
124 <br>
125 {{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
126 <p></p>
127 Das LGS hat somit die Lösung
128 {{formula}}
129 s=t=\frac{1}{4}
130 {{/formula}}.
131 <br>
132 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
Anna Kukin 1.1 133 {{/detail}}
134
135 === Teilaufgabe d) ===
136 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
137 Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
138 <br>
139 {{formula}}
Anna Kukin 4.1 140 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
Anna Kukin 1.1 141 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
142 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
143 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
144 {{/formula}}
145 <br>
146
147 {{formula}}
148 \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
149 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1}
150 =\frac{2}{3} \Rightarrow
151 \alpha\approx48{,}2^\circ
152 {{/formula}}
153 {{/detail}}
154
155
156 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
157 //Aufgabenstellung//
158 <br><p>
Anna Kukin 5.1 159 Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
160 Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
161 <br>
162 Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
Anna Kukin 1.1 163 </p>
164 //Lösung//
165 <br>
Anna Kukin 5.1 166 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
167 <br>
168 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
169 <br>
170 {{formula}}
171 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
172 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
173 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
174 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
175 {{/formula}}
176 <br>
177 Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
178 <br>
179 {{formula}}
180 \begin{align*}
181 \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
182 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
Anna Kukin 7.1 183 =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
184 =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}}
Anna Kukin 5.1 185 =\frac{2}{3} \\
186 \Rightarrow
187 \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
188 \end{align*}
189 {{/formula}}
Anna Kukin 1.1 190 {{/detail}}
191
192 === Teilaufgabe e) ===
193 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
Anna Kukin 4.1 194 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
Anna Kukin 1.1 195 <p></p>
196 Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
197 entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
Anna Kukin 6.1 198 dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
Anna Kukin 1.1 199 <p></p>
200 Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
201 <br>
202 {{formula}}
203 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
204 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
205 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
Anna Kukin 4.1 206 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
Anna Kukin 1.1 207 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
208 {{/formula}}
209 <p></p>
210 Bemerkung: Der Ansatz {{formula}}
211 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}}
212 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
213 {{/formula}}
214 {{/detail}}
215
216
217 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
218 //Aufgabenstellung//
Anna Kukin 6.1 219 <br>
Anna Kukin 5.1 220 Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
221 * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
222 * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
Anna Kukin 6.1 223
Anna Kukin 5.1 224 Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
Anna Kukin 6.1 225 <p></p>
Anna Kukin 1.1 226 //Lösung//
227 <br>
Anna Kukin 8.1 228 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Da die Ebene {{formula}}F{{/formula}} nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}CD{{/formula}} parallel ist.
Anna Kukin 6.1 229 Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
230 <p></p>
231 Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite {{formula}}a{{/formula}} mit der Länge der Höhe {{formula}}h_a{{/formula}} multipliziert, das heißt {{formula}}A=a\cdot h_a{{/formula}} (siehe Merkhilfe).
232 <br>
233 Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.
234 <p></p>
Anna Kukin 9.1 235 Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BC{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt {{formula}}B{{/formula}} bis zum Schnittpunkt entspricht {{formula}}\frac{1}{3}{{/formula}} der gesamten Seitenlänge {{formula}}BC{{/formula}}.
Anna Kukin 6.1 236 <p></p>
Anna Kukin 9.1 237 Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
Anna Kukin 6.1 238 <br>
239 {{formula}}
240 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
241 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
242 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
243 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
244 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
245 {{/formula}}
246 <p></p>
247 Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz {{formula}}
248 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} auf {{formula}}
249 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
250 {{/formula}}
Anna Kukin 1.1 251 {{/detail}}
252
253