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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 1.2 von akukin am 2026/01/29 08:00
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:Lösunga).png||width="220" style="float: right"]]
4 {{formula}}
5 \begin{align*}
6 &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
7 &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
8 & C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
9 \end{align*}
10 {{/formula}}
11
12 {{/detail}}
13
14
15 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
16 //Aufgabenstellung//
17 <br><p>
18
19 </p>
20 //Lösung//
21 <br>
22
23 {{/detail}}
24
25 === Teilaufgabe b) ===
26 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
27 {{formula}}
28 \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
29 {{/formula}}
30 <br>
31 Damit ist das Dreieck {{formula}}B_2C_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
32 <p></p>
33 Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}}:
34 {{formula}}
35 M(2|2|4)
36 {{/formula}}
37 <br>
38 {{formula}}
39 \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{6}
40 {{/formula}}, damit
41 {{formula}}
42 A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt3
43 {{/formula}}
44 {{/detail}}
45
46
47 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
48 //Aufgabenstellung//
49 <br><p>
50
51 </p>
52 //Lösung//
53 <br>
54 {{/detail}}
55
56 === Teilaufgabe c) ===
57 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
58 Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
59 liegen in der Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E{{/formula}} und die Ebene {{formula}}F{{/formula}} müssen parallel sein.
60 <br>
61 {{formula}}
62 \vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
63 {{/formula}}, damit hat {{formula}}F{{/formula}} die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
64 <br>
65 Punktprobe mit {{formula}}D_1{{/formula}} ergibt {{formula}}b = 12{{/formula}} und damit ergeben sich für {{formula}}S{{/formula}} die Koordinaten {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
66
67 {{/detail}}
68
69
70 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 //Aufgabenstellung//
72 <br><p>
73
74 </p>
75 //Lösung//
76 <br>
77 {{/detail}}
78
79 === Teilaufgabe d) ===
80 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
81 Der Abstand der Kante {{formula}}D_2D_3{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ist kleiner, da {{formula}}D_1D_2{{/formula}} die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken {{formula}}MS{{/formula}} und {{formula}}NS{{/formula}} bei gleicher Spitze {{formula}}S{{/formula}} unterschiedlich.
82 {{/detail}}
83
84
85 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 //Aufgabenstellung//
87 <br><p>
88
89 </p>
90 //Lösung//
91 <br>
92 {{/detail}}
93
94 === Teilaufgabe e) ===
95 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
96 Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen:
97 <br>
98 {{formula}}
99 \cos(\varphi)=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot
100 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}}\approx0{,}743; \
101 \varphi\approx42{,}0^\circ
102 {{/formula}}
103
104 {{formula}}
105 \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \
106 a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42^\circ)}\approx40{,}4
107 {{/formula}}
108 <p></p>
109 Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.
110 {{/detail}}
111
112
113 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114 //Aufgabenstellung//
115 <br><p>
116
117 </p>
118 //Lösung//
119 <br>
120 {{/detail}}