Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/17 14:32
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | {{formula}} | ||
| 4 | \begin{align*} | ||
| 5 | &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\ | ||
| 6 | &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\ | ||
| |
8.1 | 7 | & C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0) |
| |
1.1 | 8 | \end{align*} |
| 9 | {{/formula}} | ||
| |
3.1 | 10 | [[image:Lösunga).png||width="180"]] |
| |
1.1 | 11 | {{/detail}} |
| 12 | |||
| 13 | |||
| 14 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 15 | //Aufgabenstellung// | ||
| |
8.1 | 16 | <br> |
| 17 | Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein. | ||
| 18 | <br> | ||
| 19 | Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein. | ||
| 20 | <p></p> | ||
| |
1.1 | 21 | //Lösung// |
| 22 | <br> | ||
| |
8.1 | 23 | Gegeben sind die Punkte {{formula}} |
| 24 | A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0) | ||
| 25 | {{/formula}}. | ||
| 26 | <br> | ||
| 27 | Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}. | ||
| 28 | <p></p> | ||
| 29 | Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}} | ||
| 30 | C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0) | ||
| 31 | {{/formula}} | ||
| 32 | <br> | ||
| 33 | [[image:Lösunga).png||width="180"]] | ||
| |
1.1 | 34 | {{/detail}} |
| 35 | |||
| 36 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 37 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 38 | {{formula}} | ||
| 39 | \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2 | ||
| 40 | {{/formula}} | ||
| 41 | <br> | ||
| |
4.1 | 42 | Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig. |
| |
1.1 | 43 | <p></p> |
| 44 | Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}}: | ||
| 45 | {{formula}} | ||
| 46 | M(2|2|4) | ||
| 47 | {{/formula}} | ||
| 48 | <br> | ||
| 49 | {{formula}} | ||
| 50 | \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{6} | ||
| 51 | {{/formula}}, damit | ||
| 52 | {{formula}} | ||
| 53 | A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt3 | ||
| 54 | {{/formula}} | ||
| 55 | {{/detail}} | ||
| 56 | |||
| 57 | |||
| 58 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 59 | //Aufgabenstellung// | ||
| 60 | <br><p> | ||
| |
8.1 | 61 | Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}. |
| |
1.1 | 62 | </p> |
| 63 | //Lösung// | ||
| 64 | <br> | ||
| |
8.1 | 65 | Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}: |
| 66 | {{formula}} | ||
| 67 | \begin{align*} | ||
| 68 | \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\ | ||
| 69 | \Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\ | ||
| 70 | \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2} | ||
| 71 | \end{align*} | ||
| 72 | {{/formula}} | ||
| 73 | <p></p> | ||
| 74 | Somit gilt | ||
| 75 | {{formula}} | ||
| 76 | \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2 | ||
| 77 | {{/formula}}. | ||
| 78 | <br> | ||
| 79 | Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig. | ||
| 80 | <p></p> | ||
| |
9.1 | 81 | [[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]] |
| |
8.1 | 82 | Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze). |
| 83 | <br> | ||
| 84 | Diesen berechnen wir durch | ||
| 85 | {{formula}} | ||
| 86 | M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4) | ||
| 87 | {{/formula}}. | ||
| 88 | <br> | ||
| 89 | Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch | ||
| 90 | {{formula}} | ||
| 91 | \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6} | ||
| 92 | {{/formula}}. | ||
| 93 | <br> | ||
| 94 | Damit: | ||
| 95 | {{formula}} | ||
| 96 | A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3 | ||
| 97 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 98 | {{/detail}} |
| 99 | |||
| 100 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 101 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 102 | Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} | ||
| 103 | liegen in der Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Die Ebene {{formula}}E{{/formula}} und die Ebene {{formula}}F{{/formula}} müssen parallel sein. | ||
| 104 | <br> | ||
| 105 | {{formula}} | ||
| 106 | \vec{n}_E=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} | ||
| 107 | {{/formula}}, damit hat {{formula}}F{{/formula}} die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}. | ||
| 108 | <br> | ||
| 109 | Punktprobe mit {{formula}}D_1{{/formula}} ergibt {{formula}}b = 12{{/formula}} und damit ergeben sich für {{formula}}S{{/formula}} die Koordinaten {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}. | ||
| 110 | |||
| 111 | {{/detail}} | ||
| 112 | |||
| 113 | |||
| 114 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 115 | //Aufgabenstellung// | ||
| |
8.1 | 116 | <br> |
| 117 | Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen. | ||
| 118 | <br> | ||
| 119 | Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}. | ||
| 120 | <p></p> | ||
| |
1.1 | 121 | //Lösung// |
| 122 | <br> | ||
| |
9.1 | 123 | Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} |
| 124 | liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor. | ||
| 125 | <br> | ||
| 126 | Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}: | ||
| 127 | <br> | ||
| 128 | {{formula}} | ||
| 129 | \begin{align*} | ||
| 130 | \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\ | ||
| 131 | &=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\ | ||
| 132 | &=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} | ||
| 133 | \end{align*} | ||
| 134 | {{/formula}} | ||
| 135 | <p></p> | ||
| 136 | Somit ist {{formula}} | ||
| 137 | \vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} | ||
| 138 | {{/formula}}. | ||
| 139 | <br> | ||
| 140 | {{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}. | ||
| 141 | <p></p> | ||
| 142 | Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert: | ||
| 143 | {{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}} | ||
| 144 | <br> | ||
| 145 | Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}. | ||
| |
1.1 | 146 | {{/detail}} |
| 147 | |||
| 148 | === Teilaufgabe d) === | ||
| 149 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 150 | Der Abstand der Kante {{formula}}D_2D_3{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ist kleiner, da {{formula}}D_1D_2{{/formula}} die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken {{formula}}MS{{/formula}} und {{formula}}NS{{/formula}} bei gleicher Spitze {{formula}}S{{/formula}} unterschiedlich. | ||
| 151 | {{/detail}} | ||
| 152 | |||
| 153 | |||
| 154 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 155 | //Aufgabenstellung// | ||
| 156 | <br><p> | ||
| |
8.1 | 157 | Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}. |
| 158 | <br> | ||
| 159 | Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben. | ||
| |
1.1 | 160 | </p> |
| 161 | //Lösung// | ||
| 162 | <br> | ||
| |
11.1 | 163 | Der Abstand der Kante {{formula}}D_2D_3{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ist kleiner, da {{formula}}D_1D_2{{/formula}} die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken {{formula}}MS{{/formula}} und {{formula}}NS{{/formula}} bei gleicher Spitze {{formula}}S{{/formula}} unterschiedlich. |
| 164 | <p></p> | ||
| 165 | //Anmerkung: Falls nicht ersichtlich ist, wieso der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse kleiner ist als 3, kann man den Abstand auch berechnen: | ||
| 166 | <br> | ||
| 167 | {{formula}} | ||
| 168 | \begin{align*} | ||
| 169 | M\left(\frac{3+1}{2}\biggl|\frac{1+3}{2}\biggl|\frac{8+8}{2}\right)=M(2|2|8) \\ \rightarrow \ \text{Abstand zur} \ x_3\text{-Achse:} \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}<3 | ||
| 170 | \end{align*}{{/formula}}// | ||
| |
1.1 | 171 | {{/detail}} |
| 172 | |||
| 173 | === Teilaufgabe e) === | ||
| 174 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 175 | Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen: | ||
| 176 | <br> | ||
| 177 | {{formula}} | ||
| 178 | \cos(\varphi)=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot | ||
| 179 | \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}}\approx0{,}743; \ | ||
| |
11.1 | 180 | \varphi\approx 42{,}0^\circ |
| |
1.1 | 181 | {{/formula}} |
| |
11.1 | 182 | <br> |
| |
1.1 | 183 | {{formula}} |
| 184 | \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \ | ||
| |
4.1 | 185 | a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4 |
| |
1.1 | 186 | {{/formula}} |
| 187 | <p></p> | ||
| 188 | Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter. | ||
| 189 | {{/detail}} | ||
| 190 | |||
| 191 | |||
| 192 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 193 | //Aufgabenstellung// | ||
| 194 | <br><p> | ||
| |
8.1 | 195 | Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz. |
| 196 | <br> | ||
| 197 | An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz. | ||
| 198 | <br> | ||
| 199 | Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist. | ||
| |
1.1 | 200 | </p> |
| 201 | //Lösung// | ||
| 202 | <br> | ||
| |
11.1 | 203 | Skizze: |
| 204 | <br> | ||
| 205 | [[image:Skizzee).svg||width="350"]] | ||
| 206 | <br> | ||
| 207 | Gesucht: Abstand {{formula}}a{{/formula}} | ||
| 208 | <p></p> | ||
| 209 | Mit Hilfe der Formel in der Merkhilfe berechnen den Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen durch | ||
| 210 | <br> | ||
| 211 | {{formula}} | ||
| 212 | \begin{align*} | ||
| 213 | \cos(\varphi)&=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot | ||
| 214 | \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+4^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}\\ | ||
| 215 | &=\frac{(-3)\cdot 0+(-2)\cdot 0+4\cdot 1}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{1}}=\frac{4}{\sqrt{29}} \\ | ||
| 216 | \Leftrightarrow \varphi&=\cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)\approx42{,}0^\circ | ||
| 217 | \end{align*} | ||
| 218 | {{/formula}} | ||
| 219 | <p></p> | ||
| 220 | Über trignometrische Beziehungen erhalten wir: | ||
| 221 | <br> | ||
| 222 | {{formula}} | ||
| 223 | \begin{align*} | ||
| 224 | \cos(\varphi)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \\ | ||
| 225 | \Leftrightarrow \ | ||
| 226 | a &=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4 | ||
| 227 | \end{align*} | ||
| 228 | {{/formula}} | ||
| 229 | <p></p> | ||
| 230 | Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter. | ||
| |
1.1 | 231 | {{/detail}} |
| 232 | |||
| 233 |