Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,4 @@
1		-=== Teilaufgabe a)===
	1	+=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3	3	{{formula}}
4	4	8500 \cdot 0{,}2 = 1700
...	...	@@ -5,10 +5,23 @@
5	5	{{/formula}}
6	6	{{/detail}}
7	7
8		-=== Teilaufgabe b)===
	8	+
	9	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	10	+//Aufgabenstellung//
	11	+<br><p>
	12	+Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
	13	+</p>
	14	+//Lösung//
	15	+<br>
	16	+Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
	17	+<br>
	18	+{{formula}}8500 \cdot 0{,}2 = 1700{{/formula}}
	19	+{{/detail}}
	20	+
	21	+=== Teilaufgabe b) ===
9	9	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
10		-S: Besucher kann Snowboard fahren
11		-(%class="border" style="width:50%" %)
	23	+{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
	24	+(%class="border" style="width:30%" %)
12	12	| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
13	13	|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
14	14	|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
...	...	@@ -33,7 +33,69 @@
33	33	{{/formula}}
34	34	{{/detail}}
35	35
36		-=== Teilaufgabe c)===
	49	+
	50	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	51	+//Aufgabenstellung//
	52	+<br><p>
	53	+Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
	54	+<br>
	55	+{{formula}}A{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski fahren.
	56	+<br>
	57	+{{formula}}B{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
	58	+<br>
	59	+{{formula}}C{{/formula}}: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
	60	+</p>
	61	+//Lösung//
	62	+<br>
	63	+Wir definieren folgendes Ereignis:
	64	+<br>
	65	+{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
	66	+<br>
	67	+Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
	68	+* {{formula}}P(A){{/formula}},
	69	+* {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
	70	+* {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
	71	+
	72	+
	73	+Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	74	+<br>
	75	+Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
	76	+<br>
	77	+(%class="border" style="width:30%" %)
	78	+| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
	79	+|{{formula}}S{{/formula}}|||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	80	+|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|||
	81	+||||{{formula}}1{{/formula}}
	82	+
	83	+Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
	84	+<br>
	85	+Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}. Umstellen liefert:
	86	+{{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}.
	87	+<br>
	88	+Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}.
	89	+Somit:
	90	+(%class="border" style="width:30%" %)
	91	+| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
	92	+|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	93	+|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}||{{formula}}0{,}05{{/formula}}|
	94	+||||{{formula}}1{{/formula}}
	95	+
	96	+Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
	97	+(%class="border" style="width:30%" %)
	98	+| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
	99	+|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	100	+|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
	101	+||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
	102	+
	103	+Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
	104	+<br>
	105	+und berechnen
	106	+{{formula}}
	107	+P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
	108	+{{/formula}}
	109	+{{/detail}}
	110	+
	111	+=== Teilaufgabe c) ===
37	37	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}{{formula}}
38	38	\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75{{/formula}} und {{formula}}
39	39	\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25
...	...	@@ -44,6 +44,25 @@
44	44	{{/formula}}
45	45	{{/detail}}
46	46
	122	+
	123	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	124	+//Aufgabenstellung//
	125	+<br><p>
	126	+Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
	127	+</p>
	128	+//Lösung//
	129	+<br>
	130	+Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
	131	+<br>
	132	+{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und
	133	+<br> {{formula}}
	134	+\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25
	135	+{{/formula}}
	136	+<p></p>
	137	+Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD:
	138	+{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}
	139	+{{/detail}}
	140	+
47	47	=== Teilaufgabe d)===
48	48	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
49	49	{{formula}}
...	...	@@ -61,6 +61,38 @@
61	61	{{/formula}}
62	62	{{/detail}}
63	63
	158	+
	159	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	160	+//Aufgabenstellung//
	161	+<br><p>
	162	+Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.
	163	+<br>
	164	+Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.
	165	+</p>
	166	+//Lösung//
	167	+<br>
	168	+Es gilt {{formula}}
	169	+P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
	170	+{{/formula}}
	171	+<br>
	172	+Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
	173	+<br>
	174	+{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
	175	+<br>
	176	+Weiterhin gilt
	177	+<br>
	178	+{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
	179	+<br>
	180	+Somit ist
	181	+<br>
	182	+{{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
	183	+<p></p>
	184	+Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze:
	185	+{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}
	186	+<br>
	187	+Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.
	188	+{{/detail}}
	189	+
64	64	=== Teilaufgabe e) ===
65	65	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
66	66	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
...	...	@@ -81,6 +81,52 @@
81	81	<br>
82	82	{{formula}}
83	83	P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
84		-0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42 \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
	210	+0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
85	85	{{/formula}}
86	86	{{/detail}}
	213	+
	214	+
	215	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	216	+//Aufgabenstellung//
	217	+<br><p>
	218	+Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.
	219	+</p>
	220	+//Lösung//
	221	+<br>
	222	+Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
	223	+<br>
	224	+③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
	225	+<br>
	226	+Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
	227	+<p></p>
	228	+Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
	229	+<br>
	230	+Weg 1: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
	231	+<br>
	232	+mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}
	233	+<br>
	234	+Weg 2: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
	235	+<br>
	236	+mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072{{/formula}}
	237	+
	238	+Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})
	239	+=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}
	240	+
	241	+<p></p>
	242	+Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
	243	+{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
	244	+<br>
	245	+mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}
	246	+<p></p>
	247	+Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
	248	+<br>
	249	+{{formula}}
	250	+\begin{align*}
	251	+P(③)&>P(Ⅲ) \\
	252	+\Leftrightarrow
	253	+0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\
	254	+\Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\
	255	+\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592
	256	+\end{align*}
	257	+{{/formula}}
	258	+{{/detail}}