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Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 18:06

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont \(8500 \cdot 0{,}2 = 1700\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.

Lösung
Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
\(8500 \cdot 0{,}2 = 1700\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont \(S\): Besucher kann Snowboard fahren
\(A\)\(\overline{A}\) 
\(S\)\(0{,}08\)\(0{,}2\)
\(\overline{S}\)\(0{,}75\)\(0{,}05\)\(0{,}8\)
\(0{,}83\)\(1\)
\(P_S(A)=0{,}4=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}\), damit: \(P(S\cap A)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08\)
\(P(A)=0{,}83\) und \(P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75\)
\(P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
\(A\): Ein Besucher kann Ski fahren.
\(B\): Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
\(C\): Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.

Lösung
Wir definieren folgendes Ereignis:
\(S\): Besucher kann Snowboard fahren
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
  • \(P(A)\),
  • \(P(B)=P(A\cap \overline{S})\) und
  • \(P(C)=P_A(S)\)
Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen \(S\) und \(A\).
Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
\(A\)\(\overline{A}\) 
\(S\)\(0{,}2\)
\(\overline{S}\)
\(1\)
Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
Somit ist \(P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4\). Umstellen liefert: \(P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08\).
Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt \(P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05\). Somit:
\(A\)\(\overline{A}\) 
\(S\)\(0{,}08\)\(0{,}2\)
\(\overline{S}\)\(0{,}05\)
\(1\)
Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
\(A\)\(\overline{A}\) 
\(S\)\(0{,}08\)\(0{,}2\)
\(\overline{S}\)\(0{,}75\)\(0{,}05\)\(0{,}8\)
\(0{,}83\)\(1\)
Wir lesen ab: \(P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75\)
und berechnen \(P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096\)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont \(\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75\) und \(\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25\)
\(P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.

Lösung
Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
\(\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75\) und
\(\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25\)

Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD: \(P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383\)

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont \(P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35\)
Aus Symmetriegründen gilt: \(P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175\)
Mit dem WTR ergibt sich \(a\approx2{,}5\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Für ein \( a>0 \) liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall \( [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] \).
Ermittle den Wert von \( a \) auf eine Nachkommastelle genau.

Lösung
Es gilt \(P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35\)
Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
\(P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175\)
Weiterhin gilt
\(P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5)\)
Somit ist
\(P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 \)

Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze: \(x_{oben}\approx24{,}996\)
Damit erhalten wir \(a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5\).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.

\(P(③)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4\cdot p+0{,}6\cdot0{,}3\cdot0{,}4 =0{,}168\cdot p+0{,}072\)
\(P(Ⅲ)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot(1-p)=0{,}42-0{,}42\cdot p\)
\(P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow 0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechne, welchen Wert \( p \) mindestens hat.

Lösung
Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.

Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
Weg 1: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}\)
mit der Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p\)
Weg 2: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}\)
mit der Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072\)
Insgesamt ergibt sich damit \(P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2}) =0{,}168\cdot p+0{,}072\)

Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage: \(\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}\)
mit \(P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p\)

Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
\(\begin{align*} P(③)&>P(Ⅲ) \\ \Leftrightarrow 0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\ \Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\ \Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592 \end{align*}\)