Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,4 +1,4 @@
1		-=== Teilaufgabe a) ===
	1	+=== Teilaufgabe a)===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3	3	{{formula}}
4	4	8500 \cdot 0{,}2 = 1700
...	...	@@ -5,23 +5,10 @@
5	5	{{/formula}}
6	6	{{/detail}}
7	7
8		-
9		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10		-//Aufgabenstellung//
11		-<br><p>
12		-Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
13		-</p>
14		-//Lösung//
15		-<br>
16		-Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
17		-<br>
18		-{{formula}}8500 \cdot 0{,}2 = 1700{{/formula}}
19		-{{/detail}}
20		-
21		-=== Teilaufgabe b) ===
	8	+=== Teilaufgabe b)===
22	22	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
23		-{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
24		-(%class="border" style="width:30%" %)
	10	+S: Besucher kann Snowboard fahren
	11	+(%class="border" style="width:50%" %)
25	25	| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
26	26	|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
27	27	|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
...	...	@@ -46,69 +46,7 @@
46	46	{{/formula}}
47	47	{{/detail}}
48	48
49		-
50		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51		-//Aufgabenstellung//
52		-<br><p>
53		-Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
54		-<br>
55		-{{formula}}A{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski fahren.
56		-<br>
57		-{{formula}}B{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
58		-<br>
59		-{{formula}}C{{/formula}}: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
60		-</p>
61		-//Lösung//
62		-<br>
63		-Wir definieren folgendes Ereignis:
64		-<br>
65		-{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
66		-<br>
67		-Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
68		-* {{formula}}P(A){{/formula}},
69		-* {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
70		-* {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
71		-
72		-
73		-Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
74		-<br>
75		-Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
76		-<br>
77		-(%class="border" style="width:30%" %)
78		-| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
79		-|{{formula}}S{{/formula}}|||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
80		-|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|||
81		-||||{{formula}}1{{/formula}}
82		-
83		-Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
84		-<br>
85		-Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}. Umstellen liefert:
86		-{{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}.
87		-<br>
88		-Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}.
89		-Somit:
90		-(%class="border" style="width:30%" %)
91		-| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
92		-|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
93		-|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}||{{formula}}0{,}05{{/formula}}|
94		-||||{{formula}}1{{/formula}}
95		-
96		-Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
97		-(%class="border" style="width:30%" %)
98		-| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|
99		-|{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
100		-|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
101		-||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
102		-
103		-Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
104		-<br>
105		-und berechnen
106		-{{formula}}
107		-P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
108		-{{/formula}}
109		-{{/detail}}
110		-
111		-=== Teilaufgabe c) ===
	36	+=== Teilaufgabe c)===
112	112	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}{{formula}}
113	113	\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75{{/formula}} und {{formula}}
114	114	\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25
...	...	@@ -119,25 +119,6 @@
119	119	{{/formula}}
120	120	{{/detail}}
121	121
122		-
123		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
124		-//Aufgabenstellung//
125		-<br><p>
126		-Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
127		-</p>
128		-//Lösung//
129		-<br>
130		-Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
131		-<br>
132		-{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und
133		-<br> {{formula}}
134		-\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25
135		-{{/formula}}
136		-<p></p>
137		-Mit dem WTR berechnen wir mit Normalcdf:
138		-{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}
139		-{{/detail}}
140		-
141	141	=== Teilaufgabe d)===
142	142	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
143	143	{{formula}}
...	...	@@ -155,38 +155,6 @@
155	155	{{/formula}}
156	156	{{/detail}}
157	157
158		-
159		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
160		-//Aufgabenstellung//
161		-<br><p>
162		-Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.
163		-<br>
164		-Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.
165		-</p>
166		-//Lösung//
167		-<br>
168		-Es gilt {{formula}}
169		-P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
170		-{{/formula}}
171		-<br>
172		-Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
173		-<br>
174		-{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
175		-<br>
176		-Weiterhin gilt
177		-<br>
178		-{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
179		-<br>
180		-Somit ist
181		-<br>
182		-{{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
183		-<p></p>
184		-Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze:
185		-{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}
186		-<br>
187		-Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.
188		-{{/detail}}
189		-
190	190	=== Teilaufgabe e) ===
191	191	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
192	192	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
...	...	@@ -207,50 +207,6 @@
207	207	<br>
208	208	{{formula}}
209	209	P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
210		-0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
	84	+0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42 \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
211	211	{{/formula}}
212	212	{{/detail}}
213		-
214		-
215		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
216		-//Aufgabenstellung//
217		-<br><p>
218		-Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.
219		-</p>
220		-//Lösung//
221		-<br>
222		-Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
223		-<br>
224		-③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
225		-<br>
226		-Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
227		-<p></p>
228		-Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
229		-1. {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
230		-<br>
231		-mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}
232		-1. {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
233		-<br>
234		-mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072{{/formula}}
235		-
236		-Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})
237		-=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}
238		-
239		-<p></p>
240		-Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
241		-{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
242		-<br>
243		-mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}
244		-<p></p>
245		-Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
246		-<br>
247		-{{formula}}
248		-\begin{align*}
249		-P(③)&>P(Ⅲ) \\
250		-\Leftrightarrow
251		-0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\
252		-\Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\
253		-\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592
254		-\end{align*}
255		-{{/formula}}
256		-{{/detail}}