Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra 5_2

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -18,5 +18,70 @@
18	18
19	19
20	20	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
21		-
	21	+<p>
	22	+{{formula}}
	23	+\begin{align*}
	24	+&\text{(1)} x + y + z = 12 \\
	25	+&\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\
	26	+\end{align*}
	27	+{{/formula}}
	28	+</p><p>
	29	+{{formula}}
	30	+\text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90
	31	+{{/formula}}
	32	+</p>
	33	+Die erhaltene Gleichung lässt sich umstellen zu
	34	+<br>
	35	+{{formula}}
	36	+\begin{align*}
	37	+5y + 15z &= 90 && \mid :5\\
	38	+y+3z &= 18 && \mid -3z \\
	39	+y &= 18-3z
	40	+\end{align*}
	41	+{{/formula}}
	42	+<br>
	43	+Da {{formula}}y{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen kann, gilt {{formula}}y \geq 0{{/formula}}. Das heißt, es gilt:
	44	+<br><p>
	45	+{{formula}}
	46	+\begin{align*}
	47	+0 &\leq 18-3z && \mid +3z\\
	48	+3z &\leq 18 && \mid :3\\
	49	+z &\leq 6
	50	+\end{align*}
	51	+{{/formula}}
	52	+</p>
	53	+Aus der ersten Gleichung des LGS erhalten wir, indem wir {{formula}}y = 18-3z{{/formula}} einsetzen:
	54	+<br>
	55	+{{formula}}
	56	+\begin{align*}
	57	+x + 18-3z + z &= 12 &&\mid -18 \\
	58	+x - 2z &= -6 && \mid +2z\\
	59	+x &= -6 +2z
	60	+\end{align*}
	61	+{{/formula}}
	62	+<br>
	63	+Die Bedingung {{formula}}x\geq 0{{/formula}} führt zu:
	64	+<br>
	65	+{{formula}}
	66	+\begin{align*}
	67	+0 &\leq -6 +2z &&\mid +6 \\
	68	+6 &\leq 2z &&\mid :2 \\
	69	+3 &\leq z
	70	+\end{align*}
	71	+{{/formula}}
	72	+<br>
	73	+Insgesamt wissen wir also, dass {{formula}}3\leq z \leq 6{{/formula}} gelten muss. Das heißt, wir setzen alle möglichen Werte für {{formula}}z{{/formula}} ein, um die einzelnen Lösungspunkte zu erhalten:
	74	+<br>
	75	+{{formula}}z=3: y= 18 - 3\cdot 3= 9 \implies x+9+3= 12 \Leftrightarrow x=0 {{/formula}}
	76	+<br>
	77	+{{formula}}z=4: y= 18 - 3\cdot 4= 6 \implies x+6+4= 12 \Leftrightarrow x=2 {{/formula}}
	78	+<br>
	79	+{{formula}}z=5: y= 18 - 3\cdot 5= 3 \implies x+3+5= 12 \Leftrightarrow x=4 {{/formula}}
	80	+<br><p>
	81	+{{formula}}z=6: y= 18 - 3\cdot 6= 0 \implies x+0+6= 12 \Leftrightarrow x=6 {{/formula}}
	82	+</p>
	83	+Es ergibt sich also die Lösungsmenge {{formula}}
	84	+L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}
	85	+{{/formula}}
	86	+
22	22	{{/detail}}