Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra 5_2
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -18,70 +18,5 @@ 18 18 19 19 20 20 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 21 -<p> 22 -{{formula}} 23 -\begin{align*} 24 -&\text{(1)} x + y + z = 12 \\ 25 -&\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\ 26 -\end{align*} 27 -{{/formula}} 28 -</p><p> 29 -{{formula}} 30 -\text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90 31 -{{/formula}} 32 -</p> 33 -Die erhaltene Gleichung lässt sich umstellen zu 34 -<br> 35 -{{formula}} 36 -\begin{align*} 37 -5y + 15z &= 90 && \mid :5\\ 38 -y+3z &= 18 && \mid -3z \\ 39 -y &= 18-3z 40 -\end{align*} 41 -{{/formula}} 42 -<br> 43 -Da {{formula}}y{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen kann, gilt {{formula}}y \geq 0{{/formula}}. Das heißt, es gilt: 44 -<br><p> 45 -{{formula}} 46 -\begin{align*} 47 -0 &\leq 18-3z && \mid +3z\\ 48 -3z &\leq 18 && \mid :3\\ 49 -z &\leq 6 50 -\end{align*} 51 -{{/formula}} 52 -</p> 53 -Aus der ersten Gleichung des LGS erhalten wir, indem wir {{formula}}y = 18-3z{{/formula}} einsetzen: 54 -<br> 55 -{{formula}} 56 -\begin{align*} 57 -x + 18-3z + z &= 12 &&\mid -18 \\ 58 -x - 2z &= -6 && \mid +2z\\ 59 -x &= -6 +2z 60 -\end{align*} 61 -{{/formula}} 62 -<br> 63 -Die Bedingung {{formula}}x\geq 0{{/formula}} führt zu: 64 -<br> 65 -{{formula}} 66 -\begin{align*} 67 -0 &\leq -6 +2z &&\mid +6 \\ 68 -6 &\leq 2z &&\mid :2 \\ 69 -3 &\leq z 70 -\end{align*} 71 -{{/formula}} 72 -<br> 73 -Insgesamt wissen wir also, dass {{formula}}3\leq z \leq 6{{/formula}} gelten muss. Das heißt, wir setzen alle möglichen Werte für {{formula}}z{{/formula}} ein, um die einzelnen Lösungspunkte zu erhalten: 74 -<br> 75 -{{formula}}z=3: y= 18 - 3\cdot 3= 9 \implies x+9+3= 12 \Leftrightarrow x=0 {{/formula}} 76 -<br> 77 -{{formula}}z=4: y= 18 - 3\cdot 4= 6 \implies x+6+4= 12 \Leftrightarrow x=2 {{/formula}} 78 -<br> 79 -{{formula}}z=5: y= 18 - 3\cdot 5= 3 \implies x+3+5= 12 \Leftrightarrow x=4 {{/formula}} 80 -<br><p> 81 -{{formula}}z=6: y= 18 - 3\cdot 6= 0 \implies x+0+6= 12 \Leftrightarrow x=6 {{/formula}} 82 -</p> 83 -Es ergibt sich also die Lösungsmenge {{formula}} 84 -L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\} 85 -{{/formula}} 86 - 21 + 87 87 {{/detail}}