Änderungen von Dokument Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -21,17 +21,52 @@ 21 21 22 22 23 23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 24 - 24 +//Aufgabenstellung// 25 +<br><p> 26 +Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}. 27 +</p> 28 +//Lösung// 29 +<br> 30 +Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet: 31 +<br> 32 +{{formula}} 33 +g(x) = ax^2 + bx + c 34 +{{/formula}} 35 +<p></p> 36 +Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen: 37 + 38 +* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: 39 +{{formula}} 40 +g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1 41 +{{/formula}} 42 +* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad 43 +g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3} 44 +{{/formula}} 45 +* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}} 46 +g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}} 47 +<p></p> 48 + 49 +Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 50 +{{/formula}} 25 25 {{/detail}} 26 26 27 27 === Teilaufgabe b) === 28 28 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 29 -[[image:b eispiel.jpg]]55 +[[image:b.png||width="300"]] 30 30 {{/detail}} 31 31 32 32 33 33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 34 - 60 +//Aufgabenstellung// 61 +<br><p> 62 +Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}. 63 +</p> 64 +//Lösung// 65 +<br> 66 +Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen: 67 +<br> 68 + 69 +[[image:b.png||width="300"]] 35 35 {{/detail}} 36 36 37 37 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -40,7 +40,7 @@ 40 40 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 41 41 </p> 42 42 {{formula}} 43 -\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x78 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 44 44 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 45 45 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9} 46 46 {{/formula}} ... ... @@ -48,7 +48,28 @@ 48 48 49 49 50 50 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 51 - 86 +//Aufgabenstellung// 87 +<br><p> 88 +Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt. 89 +</p> 90 +//Lösung// 91 +<br> 92 +Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 93 +<p></p> 94 +Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen: 95 +<br> 96 +{{formula}} 97 +\begin{align*} 98 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 99 +&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\ 100 +&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\ 101 +&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\ 102 +&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\ 103 +&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9} 104 +\end{align*} 105 +{{/formula}} 106 +<p></p> 107 +Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}. 52 52 {{/detail}} 53 53 54 54 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -63,7 +63,22 @@ 63 63 64 64 65 65 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 66 - 122 +//Aufgabenstellung// 123 +<br><p> 124 +Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist. 125 +</p> 126 +//Lösung// 127 +<br> 128 +Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}: 129 +<br> 130 + {{formula}} 131 +\begin{align*} 132 +F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ 133 +&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) 134 +\end{align*} 135 +{{/formula}} 136 +<br> 137 +Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. 67 67 {{/detail}} 68 68 69 69 === Teilaufgabe e) === ... ... @@ -70,7 +70,7 @@ 70 70 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 71 71 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal. 72 72 <br> 73 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3. 144 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}. 74 74 <br> 75 75 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. 76 76 {{/detail}} ... ... @@ -77,7 +77,25 @@ 77 77 78 78 79 79 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 80 - 151 +//Aufgabenstellung// 152 +<br><p> 153 +Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. 154 +<br> 155 +Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}. 156 +<br> 157 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal. 158 +<br> 159 +(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}. 160 +<br> 161 +(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}. 162 +</p> 163 +//Lösung// 164 +<br> 165 +(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}. 166 +<br> 167 +(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch. 168 +<br> 169 +(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}. 81 81 {{/detail}} 82 82 83 83 === Teilaufgabe f) === ... ... @@ -85,15 +85,45 @@ 85 85 Aussage (1): 86 86 <br><p> 87 87 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. 88 -Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 89 -Es entstehen unterschiedliche Graphen. 177 +Wird zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 178 +Es entstehen also unterschiedliche Graphen. 90 90 </p> 91 91 Aussage (2): 92 92 <br> 93 -Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. D Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.182 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}. 94 94 {{/detail}} 95 95 96 96 97 97 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 98 - 99 -{{/detail}} 187 +//Aufgabenstellung// 188 +<br><p> 189 +Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird. 190 +<p></p> 191 +Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind: 192 +<br> 193 +(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle. 194 +<br> 195 +(2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}. 196 +</p> 197 +//Lösung// 198 +<br> 199 +__Aussage (1): __ 200 +<br> 201 +Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}. 202 +<p></p> 203 +Zuerst Verschieben, dann Spiegeln: 204 +<br> 205 +Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}. 206 +<p></p> 207 +Zuerst Spiegeln, dann Verschieben: 208 +<br> 209 +Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}. 210 +<p></p> 211 +Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle. 212 + 213 +<p></p> 214 +__Aussage (2): __ 215 +<br> 216 +Wir haben bei Aussage (1) bereits festgestellt: 217 +<br> 218 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}, das heißt {{formula}}h(-2)=0{{/formula}}.