Änderungen von Dokument Lösung Analysis

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,7 +21,27 @@
21	21
22	22
23	23	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24		-
	24	+Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
	25	+<br>
	26	+{{formula}}
	27	+g(x) = ax^2 + bx + c
	28	+{{/formula}}
	29	+<p></p>
	30	+Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
	31	+
	32	+* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
	33	+{{formula}}
	34	+g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
	35	+{{/formula}}
	36	+* Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}}
	37	+{{formula}}
	38	+g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
	39	+{{/formula}}
	40	+* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
	41	+g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
	42	+<p></p>
	43	+Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
	44	+{{/formula}}
25	25	{{/detail}}
26	26
27	27	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -30,10 +30,6 @@
30	30	{{/detail}}
31	31
32	32
33		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34		-
35		-{{/detail}}
36		-
37	37	=== Teilaufgabe c) ===
38	38	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
39	39	<p>
...	...	@@ -47,10 +47,6 @@
47	47	{{/detail}}
48	48
49	49
50		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51		-
52		-{{/detail}}
53		-
54	54	=== Teilaufgabe d) ===
55	55	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
56	56	{{formula}}
...	...	@@ -63,7 +63,16 @@
63	63
64	64
65	65	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
66		-
	78	+Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
	79	+<br>
	80	+ {{formula}}
	81	+\begin{align*}
	82	+F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
	83	+&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
	84	+\end{align*}
	85	+{{/formula}}
	86	+<br>
	87	+Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
67	67	{{/detail}}
68	68
69	69	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -70,7 +70,7 @@
70	70	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
71	71	(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
72	72	<br>
73		-(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
	94	+(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
74	74	<br>
75	75	(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
76	76	{{/detail}}
...	...	@@ -77,7 +77,11 @@
77	77
78	78
79	79	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
80		-
	101	+(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
	102	+<br>
	103	+(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
	104	+<br>
	105	+(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
81	81	{{/detail}}
82	82
83	83	=== Teilaufgabe f) ===
...	...	@@ -93,7 +93,3 @@
93	93	Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
94	94	{{/detail}}
95	95
96		-
97		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98		-
99		-{{/detail}}