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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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bearbeitet von akukin
am 2025/12/29 19:30
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:14
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,7 +21,33 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -
24 +//Aufgabenstellung//
25 +<br><p>
26 +Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 +</p>
28 +//Lösung//
29 +<br>
30 +Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 +<br>
32 +{{formula}}
33 +g(x) = ax^2 + bx + c
34 +{{/formula}}
35 +<p></p>
36 +Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37 +
38 +* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 +{{formula}}
40 +g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 +{{/formula}}
42 +* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 +g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 +{{/formula}}
45 +* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 +g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 +<p></p>
48 +
49 +Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 +{{/formula}}
25 25  {{/detail}}
26 26  
27 27  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -31,7 +31,15 @@
31 31  
32 32  
33 33  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34 -
60 +//Aufgabenstellung//
61 +<br><p>
62 +Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 +</p>
64 +//Lösung//
65 +<br>
66 +Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 +
68 +[[image:b.png||width="300"]]
35 35  {{/detail}}
36 36  
37 37  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -40,7 +40,7 @@
40 40  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
41 41  </p>
42 42  {{formula}}
43 -\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
77 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
44 44  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
45 45  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
46 46  {{/formula}}
... ... @@ -48,7 +48,28 @@
48 48  
49 49  
50 50  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51 -
85 +//Aufgabenstellung//
86 +<br><p>
87 +Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
88 +</p>
89 +//Lösung//
90 +<br>
91 +Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
92 +<p></p>
93 +Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
94 +<br>
95 +{{formula}}
96 +\begin{align*}
97 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
98 +&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
99 +&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
100 +&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
101 +&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
102 +&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
103 +\end{align*}
104 +{{/formula}}
105 +<p></p>
106 +Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
52 52  {{/detail}}
53 53  
54 54  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -63,7 +63,22 @@
63 63  
64 64  
65 65  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
66 -
121 +//Aufgabenstellung//
122 +<br><p>
123 +Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
124 +</p>
125 +//Lösung//
126 +<br>
127 +Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
128 +<br>
129 + {{formula}}
130 +\begin{align*}
131 +F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
132 +&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
133 +\end{align*}
134 +{{/formula}}
135 +<br>
136 +Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
67 67  {{/detail}}
68 68  
69 69  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -70,7 +70,7 @@
70 70  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
71 71  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
72 72  <br>
73 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
143 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
74 74  <br>
75 75  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
76 76  {{/detail}}
... ... @@ -77,7 +77,25 @@
77 77  
78 78  
79 79  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
80 -
150 +//Aufgabenstellung//
151 +<br><p>
152 +Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
153 +<br>
154 +Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
155 +<br>
156 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
157 +<br>
158 +(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
159 +<br>
160 +(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
161 +</p>
162 +//Lösung//
163 +<br>
164 +(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
165 +<br>
166 +(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
167 +<br>
168 +(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
81 81  {{/detail}}
82 82  
83 83  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -93,7 +93,3 @@
93 93  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
94 94  {{/detail}}
95 95  
96 -
97 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 -
99 -{{/detail}}