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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/10 13:54
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:20
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,6 +21,12 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 +//Aufgabenstellung//
25 +<br><p>
26 +Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 +</p>
28 +//Lösung//
29 +<br>
24 24  Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
25 25  <br>
26 26  {{formula}}
... ... @@ -33,13 +33,13 @@
33 33  {{formula}}
34 34  g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
35 35  {{/formula}}
36 -* Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}}
37 -{{formula}}
42 +* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
38 38  g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
39 39  {{/formula}}
40 40  * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
41 41  g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
42 42  <p></p>
48 +
43 43  Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
44 44  {{/formula}}
45 45  {{/detail}}
... ... @@ -50,6 +50,19 @@
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  
59 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 +//Aufgabenstellung//
61 +<br><p>
62 +Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 +</p>
64 +//Lösung//
65 +<br>
66 +Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 +<br>
68 +
69 +[[image:b.png||width="300"]]
70 +{{/detail}}
71 +
53 53  === Teilaufgabe c) ===
54 54  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 55  <p>
... ... @@ -56,7 +56,7 @@
56 56  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
57 57  </p>
58 58  {{formula}}
59 -\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
78 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
60 60  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
61 61  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
62 62  {{/formula}}
... ... @@ -63,6 +63,31 @@
63 63  {{/detail}}
64 64  
65 65  
85 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 +//Aufgabenstellung//
87 +<br><p>
88 +Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 +</p>
90 +//Lösung//
91 +<br>
92 +Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 +<p></p>
94 +Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 +<br>
96 +{{formula}}
97 +\begin{align*}
98 +\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 +&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 +&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 +&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 +&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 +&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 +\end{align*}
105 +{{/formula}}
106 +<p></p>
107 +Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
108 +{{/detail}}
109 +
66 66  === Teilaufgabe d) ===
67 67  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
68 68  {{formula}}
... ... @@ -75,6 +75,12 @@
75 75  
76 76  
77 77  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
122 +//Aufgabenstellung//
123 +<br><p>
124 +Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
125 +</p>
126 +//Lösung//
127 +<br>
78 78  Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
79 79  <br>
80 80   {{formula}}
... ... @@ -91,7 +91,7 @@
91 91  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 92  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
93 93  <br>
94 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
144 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
95 95  <br>
96 96  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
97 97  {{/detail}}
... ... @@ -98,7 +98,25 @@
98 98  
99 99  
100 100  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
101 -
151 +//Aufgabenstellung//
152 +<br><p>
153 +Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
154 +<br>
155 +Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
156 +<br>
157 +(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
158 +<br>
159 +(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
160 +<br>
161 +(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
162 +</p>
163 +//Lösung//
164 +<br>
165 +(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
166 +<br>
167 +(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
168 +<br>
169 +(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
102 102  {{/detail}}
103 103  
104 104  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -114,7 +114,3 @@
114 114  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
115 115  {{/detail}}
116 116  
117 -
118 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
119 -
120 -{{/detail}}