Änderungen von Dokument Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -21,51 +21,17 @@ 21 21 22 22 23 23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 24 -//Aufgabenstellung// 25 -<br><p> 26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}. 27 -</p> 28 -//Lösung// 29 -<br> 30 -Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet: 31 -<br> 32 -{{formula}} 33 -g(x) = ax^2 + bx + c 34 -{{/formula}} 35 -<p></p> 36 -Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen: 37 - 38 -* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: 39 -{{formula}} 40 -g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1 41 -{{/formula}} 42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad 43 -g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3} 44 -{{/formula}} 45 -* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}} 46 -g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}} 47 -<p></p> 48 - 49 -Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 50 -{{/formula}} 24 + 51 51 {{/detail}} 52 52 53 53 === Teilaufgabe b) === 54 54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 55 -[[image:b.p ng||width="300"]]29 +[[image:beispiel.jpg]] 56 56 {{/detail}} 57 57 58 58 59 59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 60 -//Aufgabenstellung// 61 -<br><p> 62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}. 63 -</p> 64 -//Lösung// 65 -<br> 66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen: 67 - 68 -[[image:b.png||width="300"]] 34 + 69 69 {{/detail}} 70 70 71 71 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -74,7 +74,7 @@ 74 74 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 75 75 </p> 76 76 {{formula}} 77 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x43 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x 78 78 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 79 79 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9} 80 80 {{/formula}} ... ... @@ -82,28 +82,7 @@ 82 82 83 83 84 84 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 85 -//Aufgabenstellung// 86 -<br><p> 87 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt. 88 -</p> 89 -//Lösung// 90 -<br> 91 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 92 -<p></p> 93 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen: 94 -<br> 95 -{{formula}} 96 -\begin{align*} 97 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 98 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\ 99 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\ 100 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\ 101 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\ 102 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9} 103 -\end{align*} 104 -{{/formula}} 105 -<p></p> 106 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}. 51 + 107 107 {{/detail}} 108 108 109 109 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -118,22 +118,7 @@ 118 118 119 119 120 120 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 121 -//Aufgabenstellung// 122 -<br><p> 123 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist. 124 -</p> 125 -//Lösung// 126 -<br> 127 -Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}: 128 -<br> 129 - {{formula}} 130 -\begin{align*} 131 -F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ 132 -&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) 133 -\end{align*} 134 -{{/formula}} 135 -<br> 136 -Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. 66 + 137 137 {{/detail}} 138 138 139 139 === Teilaufgabe e) === ... ... @@ -140,7 +140,7 @@ 140 140 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 141 141 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal. 142 142 <br> 143 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.73 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3. 144 144 <br> 145 145 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. 146 146 {{/detail}} ... ... @@ -147,25 +147,7 @@ 147 147 148 148 149 149 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 150 -//Aufgabenstellung// 151 -<br><p> 152 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. 153 -<br> 154 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}. 155 -<br> 156 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal. 157 -<br> 158 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}. 159 -<br> 160 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}. 161 -</p> 162 -//Lösung// 163 -<br> 164 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}. 165 -<br> 166 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch. 167 -<br> 168 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}. 80 + 169 169 {{/detail}} 170 170 171 171 === Teilaufgabe f) === ... ... @@ -174,10 +174,14 @@ 174 174 <br><p> 175 175 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. 176 176 Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 177 -Es entstehen alsounterschiedliche Graphen.89 +Es entstehen unterschiedliche Graphen. 178 178 </p> 179 179 Aussage (2): 180 180 <br> 181 -Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auchdie Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.93 +Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. DDie anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}. 182 182 {{/detail}} 183 183 96 + 97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 98 + 99 +{{/detail}}
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