Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Von Version 7.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:14
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 3.1
bearbeitet von akukin
am 2025/12/29 19:30
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,33 +21,7 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -//Aufgabenstellung//
25 -<br><p>
26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 -</p>
28 -//Lösung//
29 -<br>
30 -Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 -<br>
32 -{{formula}}
33 -g(x) = ax^2 + bx + c
34 -{{/formula}}
35 -<p></p>
36 -Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37 -
38 -* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 -{{formula}}
40 -g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 -{{/formula}}
42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 -g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 -{{/formula}}
45 -* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 -g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 -<p></p>
48 -
49 -Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 -{{/formula}}
24 +
51 51  {{/detail}}
52 52  
53 53  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -57,15 +57,7 @@
57 57  
58 58  
59 59  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 -//Aufgabenstellung//
61 -<br><p>
62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 -</p>
64 -//Lösung//
65 -<br>
66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 -
68 -[[image:b.png||width="300"]]
34 +
69 69  {{/detail}}
70 70  
71 71  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -74,7 +74,7 @@
74 74  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
75 75  </p>
76 76  {{formula}}
77 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
43 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
78 78  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
79 79  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
80 80  {{/formula}}
... ... @@ -82,28 +82,7 @@
82 82  
83 83  
84 84  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85 -//Aufgabenstellung//
86 -<br><p>
87 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
88 -</p>
89 -//Lösung//
90 -<br>
91 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
92 -<p></p>
93 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
94 -<br>
95 -{{formula}}
96 -\begin{align*}
97 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
98 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
99 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
100 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
101 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
102 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
103 -\end{align*}
104 -{{/formula}}
105 -<p></p>
106 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
51 +
107 107  {{/detail}}
108 108  
109 109  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -118,22 +118,7 @@
118 118  
119 119  
120 120  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
121 -//Aufgabenstellung//
122 -<br><p>
123 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
124 -</p>
125 -//Lösung//
126 -<br>
127 -Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
128 -<br>
129 - {{formula}}
130 -\begin{align*}
131 -F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
132 -&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
133 -\end{align*}
134 -{{/formula}}
135 -<br>
136 -Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
66 +
137 137  {{/detail}}
138 138  
139 139  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -140,7 +140,7 @@
140 140  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
141 141  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
142 142  <br>
143 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
73 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
144 144  <br>
145 145  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
146 146  {{/detail}}
... ... @@ -147,25 +147,7 @@
147 147  
148 148  
149 149  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
150 -//Aufgabenstellung//
151 -<br><p>
152 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
153 -<br>
154 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
155 -<br>
156 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
157 -<br>
158 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
159 -<br>
160 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
161 -</p>
162 -//Lösung//
163 -<br>
164 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
165 -<br>
166 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
167 -<br>
168 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
80 +
169 169  {{/detail}}
170 170  
171 171  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -181,3 +181,7 @@
181 181  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
182 182  {{/detail}}
183 183  
96 +
97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +
99 +{{/detail}}