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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:14
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/10 14:07
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,12 +21,6 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -//Aufgabenstellung//
25 -<br><p>
26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 -</p>
28 -//Lösung//
29 -<br>
30 30  Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 31  <br>
32 32  {{formula}}
... ... @@ -39,13 +39,13 @@
39 39  {{formula}}
40 40  g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 41  {{/formula}}
42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
36 +* Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}}
37 +{{formula}}
43 43  g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 44  {{/formula}}
45 45  * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 46  g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 47  <p></p>
48 -
49 49  Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 50  {{/formula}}
51 51  {{/detail}}
... ... @@ -56,18 +56,6 @@
56 56  {{/detail}}
57 57  
58 58  
59 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 -//Aufgabenstellung//
61 -<br><p>
62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 -</p>
64 -//Lösung//
65 -<br>
66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 -
68 -[[image:b.png||width="300"]]
69 -{{/detail}}
70 -
71 71  === Teilaufgabe c) ===
72 72  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
73 73  <p>
... ... @@ -74,7 +74,7 @@
74 74  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
75 75  </p>
76 76  {{formula}}
77 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
59 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
78 78  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
79 79  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
80 80  {{/formula}}
... ... @@ -81,31 +81,6 @@
81 81  {{/detail}}
82 82  
83 83  
84 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85 -//Aufgabenstellung//
86 -<br><p>
87 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
88 -</p>
89 -//Lösung//
90 -<br>
91 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
92 -<p></p>
93 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
94 -<br>
95 -{{formula}}
96 -\begin{align*}
97 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
98 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
99 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
100 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
101 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
102 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
103 -\end{align*}
104 -{{/formula}}
105 -<p></p>
106 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
107 -{{/detail}}
108 -
109 109  === Teilaufgabe d) ===
110 110  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
111 111  {{formula}}
... ... @@ -118,12 +118,6 @@
118 118  
119 119  
120 120  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
121 -//Aufgabenstellung//
122 -<br><p>
123 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
124 -</p>
125 -//Lösung//
126 -<br>
127 127  Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
128 128  <br>
129 129   {{formula}}
... ... @@ -147,20 +147,6 @@
147 147  
148 148  
149 149  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
150 -//Aufgabenstellung//
151 -<br><p>
152 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
153 -<br>
154 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
155 -<br>
156 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
157 -<br>
158 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
159 -<br>
160 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
161 -</p>
162 -//Lösung//
163 -<br>
164 164  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
165 165  <br>
166 166  (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.