Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Von Version 8.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/17 16:20
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 3.1
bearbeitet von akukin
am 2025/12/29 19:30
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,33 +21,7 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -//Aufgabenstellung//
25 -<br><p>
26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 -</p>
28 -//Lösung//
29 -<br>
30 -Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 -<br>
32 -{{formula}}
33 -g(x) = ax^2 + bx + c
34 -{{/formula}}
35 -<p></p>
36 -Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37 -
38 -* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 -{{formula}}
40 -g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 -{{/formula}}
42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
43 -g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 -{{/formula}}
45 -* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 -g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 -<p></p>
48 -
49 -Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 -{{/formula}}
24 +
51 51  {{/detail}}
52 52  
53 53  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -57,16 +57,7 @@
57 57  
58 58  
59 59  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 -//Aufgabenstellung//
61 -<br><p>
62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 -</p>
64 -//Lösung//
65 -<br>
66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 -<br>
68 -
69 -[[image:b.png||width="300"]]
34 +
70 70  {{/detail}}
71 71  
72 72  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -75,7 +75,7 @@
75 75  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
76 76  </p>
77 77  {{formula}}
78 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
43 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
79 79  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
80 80  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
81 81  {{/formula}}
... ... @@ -83,28 +83,7 @@
83 83  
84 84  
85 85  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 -//Aufgabenstellung//
87 -<br><p>
88 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 -</p>
90 -//Lösung//
91 -<br>
92 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 -<p></p>
94 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 -<br>
96 -{{formula}}
97 -\begin{align*}
98 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 -\end{align*}
105 -{{/formula}}
106 -<p></p>
107 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
51 +
108 108  {{/detail}}
109 109  
110 110  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -119,22 +119,7 @@
119 119  
120 120  
121 121  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
122 -//Aufgabenstellung//
123 -<br><p>
124 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
125 -</p>
126 -//Lösung//
127 -<br>
128 -Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
129 -<br>
130 - {{formula}}
131 -\begin{align*}
132 -F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
133 -&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
134 -\end{align*}
135 -{{/formula}}
136 -<br>
137 -Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
66 +
138 138  {{/detail}}
139 139  
140 140  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -141,7 +141,7 @@
141 141  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 142  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
143 143  <br>
144 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
73 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
145 145  <br>
146 146  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
147 147  {{/detail}}
... ... @@ -148,25 +148,7 @@
148 148  
149 149  
150 150  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
151 -//Aufgabenstellung//
152 -<br><p>
153 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
154 -<br>
155 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
156 -<br>
157 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
158 -<br>
159 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
160 -<br>
161 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
162 -</p>
163 -//Lösung//
164 -<br>
165 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
166 -<br>
167 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
168 -<br>
169 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
80 +
170 170  {{/detail}}
171 171  
172 172  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -182,3 +182,7 @@
182 182  Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
183 183  {{/detail}}
184 184  
96 +
97 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +
99 +{{/detail}}