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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/10 13:54
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -21,12 +21,6 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -//Aufgabenstellung//
25 -<br><p>
26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 -</p>
28 -//Lösung//
29 -<br>
30 30  Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 31  <br>
32 32  {{formula}}
... ... @@ -39,13 +39,13 @@
39 39  {{formula}}
40 40  g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 41  {{/formula}}
42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
36 +* Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}}
37 +{{formula}}
43 43  g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 44  {{/formula}}
45 45  * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 46  g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 47  <p></p>
48 -
49 49  Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 50  {{/formula}}
51 51  {{/detail}}
... ... @@ -56,19 +56,6 @@
56 56  {{/detail}}
57 57  
58 58  
59 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 -//Aufgabenstellung//
61 -<br><p>
62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 -</p>
64 -//Lösung//
65 -<br>
66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67 -<br>
68 -
69 -[[image:b.png||width="300"]]
70 -{{/detail}}
71 -
72 72  === Teilaufgabe c) ===
73 73  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
74 74  <p>
... ... @@ -75,7 +75,7 @@
75 75  Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
76 76  </p>
77 77  {{formula}}
78 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
59 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
79 79  = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
80 80  = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
81 81  {{/formula}}
... ... @@ -82,31 +82,6 @@
82 82  {{/detail}}
83 83  
84 84  
85 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 -//Aufgabenstellung//
87 -<br><p>
88 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
89 -</p>
90 -//Lösung//
91 -<br>
92 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
93 -<p></p>
94 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
95 -<br>
96 -{{formula}}
97 -\begin{align*}
98 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
99 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
100 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
101 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
102 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
103 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
104 -\end{align*}
105 -{{/formula}}
106 -<p></p>
107 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
108 -{{/detail}}
109 -
110 110  === Teilaufgabe d) ===
111 111  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
112 112  {{formula}}
... ... @@ -119,12 +119,6 @@
119 119  
120 120  
121 121  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
122 -//Aufgabenstellung//
123 -<br><p>
124 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
125 -</p>
126 -//Lösung//
127 -<br>
128 128  Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
129 129  <br>
130 130   {{formula}}
... ... @@ -141,7 +141,7 @@
141 141  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
142 142  (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
143 143  <br>
144 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
94 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3.
145 145  <br>
146 146  (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
147 147  {{/detail}}
... ... @@ -148,25 +148,7 @@
148 148  
149 149  
150 150  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
151 -//Aufgabenstellung//
152 -<br><p>
153 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
154 -<br>
155 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
156 -<br>
157 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
158 -<br>
159 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
160 -<br>
161 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
162 -</p>
163 -//Lösung//
164 -<br>
165 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
166 -<br>
167 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
168 -<br>
169 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
101 +
170 170  {{/detail}}
171 171  
172 172  === Teilaufgabe f) ===
... ... @@ -184,35 +184,5 @@
184 184  
185 185  
186 186  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
187 -//Aufgabenstellung//
188 -<br><p>
189 -Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.
190 -<p></p>
191 -Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
192 -<br>
193 -(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
194 -<br>
195 -(2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}.
196 -</p>
197 -//Lösung//
198 -<br>
199 -__Aussage (1): __
200 -<br>
201 -Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}.
202 -<p></p>
203 -Zuerst Verschieben, dann Spiegeln:
204 -<br>
205 -Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}.
206 -<p></p>
207 -Zuerst Spiegeln, dann Verschieben:
208 -<br>
209 -Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}.
210 -<p></p>
211 -Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle.
212 -
213 -<p></p>
214 -__Aussage (2): __
215 -<br>
216 -Wir haben bei Aussage (1) bereits festgestellt:
217 -<br>
218 -Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}, das heißt {{formula}}h(-2)=0{{/formula}}.
119 +
120 +{{/detail}}