Änderungen von Dokument Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -21,33 +21,7 @@ 21 21 22 22 23 23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 24 -//Aufgabenstellung// 25 -<br><p> 26 -Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}. 27 -</p> 28 -//Lösung// 29 -<br> 30 -Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet: 31 -<br> 32 -{{formula}} 33 -g(x) = ax^2 + bx + c 34 -{{/formula}} 35 -<p></p> 36 -Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen: 37 - 38 -* Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: 39 -{{formula}} 40 -g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1 41 -{{/formula}} 42 -* Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad 43 -g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3} 44 -{{/formula}} 45 -* Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}} 46 -g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}} 47 -<p></p> 48 - 49 -Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 50 -{{/formula}} 24 + 51 51 {{/detail}} 52 52 53 53 === Teilaufgabe b) === ... ... @@ -57,16 +57,7 @@ 57 57 58 58 59 59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 60 -//Aufgabenstellung// 61 -<br><p> 62 -Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}. 63 -</p> 64 -//Lösung// 65 -<br> 66 -Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen: 67 -<br> 68 - 69 -[[image:b.png||width="300"]] 34 + 70 70 {{/detail}} 71 71 72 72 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -75,7 +75,7 @@ 75 75 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 76 76 </p> 77 77 {{formula}} 78 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x43 +\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x 79 79 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 80 80 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9} 81 81 {{/formula}} ... ... @@ -83,28 +83,7 @@ 83 83 84 84 85 85 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 86 -//Aufgabenstellung// 87 -<br><p> 88 -Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt. 89 -</p> 90 -//Lösung// 91 -<br> 92 -Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} 93 -<p></p> 94 -Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen: 95 -<br> 96 -{{formula}} 97 -\begin{align*} 98 -\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x 99 -&= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\ 100 -&= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\ 101 -&= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\ 102 -&=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\ 103 -&=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9} 104 -\end{align*} 105 -{{/formula}} 106 -<p></p> 107 -Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}. 51 + 108 108 {{/detail}} 109 109 110 110 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -119,22 +119,7 @@ 119 119 120 120 121 121 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 122 -//Aufgabenstellung// 123 -<br><p> 124 -Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist. 125 -</p> 126 -//Lösung// 127 -<br> 128 -Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}: 129 -<br> 130 - {{formula}} 131 -\begin{align*} 132 -F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ 133 -&= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) 134 -\end{align*} 135 -{{/formula}} 136 -<br> 137 -Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. 66 + 138 138 {{/detail}} 139 139 140 140 === Teilaufgabe e) === ... ... @@ -141,7 +141,7 @@ 141 141 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 142 142 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal. 143 143 <br> 144 -(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.73 +(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3. 145 145 <br> 146 146 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. 147 147 {{/detail}} ... ... @@ -148,25 +148,7 @@ 148 148 149 149 150 150 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 151 -//Aufgabenstellung// 152 -<br><p> 153 -Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. 154 -<br> 155 -Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}. 156 -<br> 157 -(1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal. 158 -<br> 159 -(2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}. 160 -<br> 161 -(3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}. 162 -</p> 163 -//Lösung// 164 -<br> 165 -(1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}. 166 -<br> 167 -(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch. 168 -<br> 169 -(3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}. 80 + 170 170 {{/detail}} 171 171 172 172 === Teilaufgabe f) === ... ... @@ -174,7 +174,7 @@ 174 174 Aussage (1): 175 175 <br><p> 176 176 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. 177 -Wird zuerst an der y-Achsegespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.88 +Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. 178 178 Es entstehen also unterschiedliche Graphen. 179 179 </p> 180 180 Aussage (2): ... ... @@ -184,35 +184,5 @@ 184 184 185 185 186 186 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 187 -//Aufgabenstellung// 188 -<br><p> 189 -Der Graph der Funktion {{formula}} h {{/formula}} entsteht, indem {{formula}} K_{f} {{/formula}} zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird. 190 -<p></p> 191 -Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind: 192 -<br> 193 -(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle. 194 -<br> 195 -(2) Es gilt {{formula}} f(1)=0 {{/formula}}. Damit ist {{formula}} h(-2)=0 {{/formula}}. 196 -</p> 197 -//Lösung// 198 -<br> 199 -__Aussage (1): __ 200 -<br> 201 -Wir betrachten im folgenden die Nullstelle {{formula}}x=1{{/formula}} von {{formula}}f(x){{/formula}}. 202 -<p></p> 203 -Zuerst Verschieben, dann Spiegeln: 204 -<br> 205 -Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-2{{/formula}}. 206 -<p></p> 207 -Zuerst Spiegeln, dann Verschieben: 208 -<br> 209 -Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu {{formula}}x=-1{{/formula}}. Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle {{formula}}x=0{{/formula}}. 210 -<p></p> 211 -Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle. 212 - 213 -<p></p> 214 -__Aussage (2): __ 215 -<br> 216 -Wir haben bei Aussage (1) bereits festgestellt: 217 -<br> 218 -Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}, das heißt {{formula}}h(-2)=0{{/formula}}. 98 + 99 +{{/detail}}