Wiki-Quellcode von Lösung Analysis
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | Ansatz: | ||
| 4 | {{formula}} | ||
| 5 | g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b | ||
| 6 | {{/formula}} | ||
| 7 | <br> | ||
| 8 | {{formula}} | ||
| 9 | g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1 | ||
| 10 | {{/formula}} | ||
| 11 | <br> | ||
| 12 | {{formula}} | ||
| 13 | g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3} | ||
| 14 | {{/formula}} | ||
| 15 | <br> | ||
| 16 | {{formula}} | ||
| 17 | g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}, | ||
| 18 | {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 | ||
| 19 | {{/formula}} | ||
| 20 | {{/detail}} | ||
| 21 | |||
| 22 | |||
| 23 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
4.1 | 24 | Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet: |
| 25 | <br> | ||
| 26 | {{formula}} | ||
| 27 | g(x) = ax^2 + bx + c | ||
| 28 | {{/formula}} | ||
| 29 | <p></p> | ||
| 30 | Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen: | ||
| 31 | |||
| 32 | * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: | ||
| 33 | {{formula}} | ||
| 34 | g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1 | ||
| 35 | {{/formula}} | ||
| 36 | * Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}} | ||
| 37 | {{formula}} | ||
| 38 | g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3} | ||
| 39 | {{/formula}} | ||
| 40 | * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}} | ||
| 41 | g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}} | ||
| 42 | <p></p> | ||
| 43 | Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1 | ||
| 44 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 45 | {{/detail}} |
| 46 | |||
| 47 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 48 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| |
3.1 | 49 | [[image:b.png||width="300"]] |
| |
1.1 | 50 | {{/detail}} |
| 51 | |||
| 52 | |||
| 53 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 54 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 55 | <p> | ||
| 56 | Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}} | ||
| 57 | </p> | ||
| 58 | {{formula}} | ||
| 59 | \int_1^3 f(x) \mathrm{d}x | ||
| 60 | = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 | ||
| 61 | = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9} | ||
| 62 | {{/formula}} | ||
| 63 | {{/detail}} | ||
| 64 | |||
| 65 | |||
| 66 | === Teilaufgabe d) === | ||
| 67 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 68 | {{formula}} | ||
| 69 | \begin{align*} | ||
| 70 | F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ | ||
| 71 | &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) | ||
| 72 | \end{align*} | ||
| 73 | {{/formula}} | ||
| 74 | {{/detail}} | ||
| 75 | |||
| 76 | |||
| 77 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
4.1 | 78 | Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}: |
| 79 | <br> | ||
| 80 | {{formula}} | ||
| 81 | \begin{align*} | ||
| 82 | F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ | ||
| 83 | &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) | ||
| 84 | \end{align*} | ||
| 85 | {{/formula}} | ||
| 86 | <br> | ||
| 87 | Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}. | ||
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1.1 | 88 | {{/detail}} |
| 89 | |||
| 90 | === Teilaufgabe e) === | ||
| 91 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 92 | (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal. | ||
| 93 | <br> | ||
| 94 | (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr −3. | ||
| 95 | <br> | ||
| 96 | (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. | ||
| 97 | {{/detail}} | ||
| 98 | |||
| 99 | |||
| 100 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 101 | |||
| 102 | {{/detail}} | ||
| 103 | |||
| 104 | === Teilaufgabe f) === | ||
| 105 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 106 | Aussage (1): | ||
| 107 | <br><p> | ||
| 108 | Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. | ||
| 109 | Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. | ||
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3.1 | 110 | Es entstehen also unterschiedliche Graphen. |
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1.1 | 111 | </p> |
| 112 | Aussage (2): | ||
| 113 | <br> | ||
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3.1 | 114 | Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}. |
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1.1 | 115 | {{/detail}} |
| 116 | |||
| 117 | |||
| 118 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 119 | |||
| 120 | {{/detail}} |