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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Version 7.1 von akukin am 2026/01/17 16:14
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 24 //Aufgabenstellung//
25 <br><p>
26 Bestimme eine Gleichung der Funktion {{formula}} g {{/formula}}.
27 </p>
28 //Lösung//
29 <br>
akukin 4.1 30 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
31 <br>
32 {{formula}}
33 g(x) = ax^2 + bx + c
34 {{/formula}}
35 <p></p>
36 Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
37
38 * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
39 {{formula}}
40 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
41 {{/formula}}
akukin 6.1 42 * Steigung {{formula}}-\frac{4}{3}{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b; \quad
akukin 4.1 43 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
44 {{/formula}}
45 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
46 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
47 <p></p>
akukin 7.1 48
akukin 4.1 49 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
50 {{/formula}}
akukin 1.1 51 {{/detail}}
52
53 === Teilaufgabe b) ===
54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 3.1 55 [[image:b.png||width="300"]]
akukin 1.1 56 {{/detail}}
57
58
akukin 7.1 59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 //Aufgabenstellung//
61 <br><p>
62 Zeichne {{formula}} K_{g} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -2\le x\le 6 {{/formula}}.
63 </p>
64 //Lösung//
65 <br>
66 Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
67
68 [[image:b.png||width="300"]]
69 {{/detail}}
70
akukin 1.1 71 === Teilaufgabe c) ===
72 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
73 <p>
74 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
75 </p>
76 {{formula}}
akukin 7.1 77 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
akukin 1.1 78 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
79 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
80 {{/formula}}
81 {{/detail}}
82
83
akukin 7.1 84 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85 //Aufgabenstellung//
86 <br><p>
87 Berechne den Inhalt der Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt.
88 </p>
89 //Lösung//
90 <br>
91 Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion {{formula}}g{{/formula}} bekannt sein: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
92 <p></p>
93 Die Fläche, die {{formula}} K_{g} {{/formula}} mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
94 <br>
95 {{formula}}
96 \begin{align*}
97 \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x
98 &= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\
99 &= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\
100 &= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\
101 &=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\
102 &=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9}
103 \end{align*}
104 {{/formula}}
105 <p></p>
106 Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von {{formula}}A=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}{{/formula}}.
107 {{/detail}}
108
akukin 1.1 109 === Teilaufgabe d) ===
110 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
111 {{formula}}
112 \begin{align*}
113 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
114 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
115 \end{align*}
116 {{/formula}}
117 {{/detail}}
118
119
120 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 121 //Aufgabenstellung//
122 <br><p>
123 Zeige, dass {{formula}} F {{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}} f {{/formula}} ist.
124 </p>
125 //Lösung//
126 <br>
akukin 4.1 127 Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
128 <br>
129 {{formula}}
130 \begin{align*}
131 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
132 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
133 \end{align*}
134 {{/formula}}
135 <br>
136 Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
akukin 1.1 137 {{/detail}}
138
139 === Teilaufgabe e) ===
140 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
141 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
142 <br>
akukin 5.1 143 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
akukin 1.1 144 <br>
145 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
146 {{/detail}}
147
148
149 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 6.1 150 //Aufgabenstellung//
151 <br><p>
152 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen {{formula}} K_{F} {{/formula}} der Funktion {{formula}} F {{/formula}}. Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
153 <br>
154 Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von {{formula}} K_{F}{{/formula}}.
155 <br>
akukin 7.1 156 (1) {{formula}} K_{f} {{/formula}} schneidet die x-Achse im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} einmal.
akukin 6.1 157 <br>
158 (2) Es gilt: {{formula}} F^{\prime}(2,5)=-1 {{/formula}}.
159 <br>
160 (3) Es gilt: {{formula}} f^{\prime}(1,5)<0 {{/formula}}.
161 </p>
162 //Lösung//
163 <br>
akukin 5.1 164 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
165 <br>
166 (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
167 <br>
168 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
akukin 1.1 169 {{/detail}}
170
171 === Teilaufgabe f) ===
172 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
173 Aussage (1):
174 <br><p>
175 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
176 Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
akukin 3.1 177 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
akukin 1.1 178 </p>
179 Aussage (2):
180 <br>
akukin 3.1 181 Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
akukin 1.1 182 {{/detail}}
183