Änderungen von Dokument Lösung Analysis
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -10,12 +10,6 @@ 10 10 11 11 12 12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 13 -//Aufgabenstellung// 14 -<br><p> 15 -Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann. 16 -</p> 17 -//Lösung// 18 -<br> 19 19 Mögliche Argumente: 20 20 <br> 21 21 * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. ... ... @@ -37,14 +37,6 @@ 37 37 38 38 39 39 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 40 -//Aufgabenstellung// 41 -<br><p> 42 -Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor. 43 -<br> 44 -Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an. 45 -</p> 46 -//Lösung// 47 -<br> 48 48 Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}. 49 49 Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}. 50 50 {{/detail}} ... ... @@ -66,12 +66,6 @@ 66 66 67 67 68 68 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 69 -//Aufgabenstellung// 70 -<br><p> 71 -Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft. 72 -</p> 73 -//Lösung// 74 -<br> 75 75 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. 76 76 <br> 77 77 Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben. ... ... @@ -95,14 +95,6 @@ 95 95 96 96 97 97 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 98 -//Aufgabenstellung// 99 -<br><p> 100 -Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}. 101 -<br> 102 -Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}. 103 -</p> 104 -//Lösung// 105 -<br> 106 106 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird. 107 107 [[image:1.2a.png||width="300"]] 108 108 {{/detail}} ... ... @@ -133,12 +133,6 @@ 133 133 134 134 135 135 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 136 -//Aufgabenstellung// 137 -<br><p> 138 -Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist. 139 -</p> 140 -//Lösung// 141 -<br> 142 142 Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}. 143 143 <br> 144 144 Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}} ... ... @@ -193,12 +193,6 @@ 193 193 194 194 195 195 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 196 -//Aufgabenstellung// 197 -<br><p> 198 -Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann. 199 -</p> 200 -//Lösung// 201 -<br> 202 202 Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. 203 203 <br> 204 204 Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: ... ... @@ -213,12 +213,18 @@ 213 213 y = -4\sin(u)\cdot x + b 214 214 {{/formula}} 215 215 <br> 216 - Punktprobemit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt:176 +Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein: 217 217 <br> 218 218 {{formula}} 219 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4179 +h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b 220 220 {{/formula}} 221 221 <br> 182 +Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt 183 +<br> 184 +{{formula}} 185 +4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b 186 +{{/formula}} 187 +<br> 222 222 Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: 223 223 <br> 224 224 {{formula}} ... ... @@ -260,14 +260,6 @@ 260 260 261 261 262 262 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 263 -//Aufgabenstellung// 264 -<br><p> 265 -Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert. 266 -<p></p> 267 - Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt. 268 -</p> 269 -//Lösung// 270 -<br> 271 271 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 272 272 <br> 273 273 Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} ... ... @@ -304,12 +304,6 @@ 304 304 305 305 306 306 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 307 -//Aufgabenstellung// 308 -<br><p> 309 -Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat. 310 -</p> 311 -//Lösung// 312 -<br> 313 313 Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} 314 314 <br> 315 315 Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: