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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 16:25
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/11 15:23
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/12 16:10
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -50,6 +50,7 @@
50 50  {{/formula}}
51 51  {{/detail}}
52 52  
53 +
53 53  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54 54  Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
55 55  <br>
... ... @@ -146,11 +146,11 @@
146 146  {{/formula}}
147 147  <br>
148 148  {{formula}}
149 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
150 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
150 150  {{/formula}}
151 151  <br><p>
152 152  {{formula}}
153 -b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
154 +b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
154 154  {{/formula}}
155 155  </p>
156 156  //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
... ... @@ -158,7 +158,56 @@
158 158  
159 159  
160 160  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161 -
162 +Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
163 +<br>
164 +Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
165 +<br>
166 + {{formula}}
167 +h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
168 +{{/formula}}
169 +<br>
170 +Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}:
171 +<br>
172 +{{formula}}
173 +y = -4\sin(u)\cdot x + b
174 +{{/formula}}
175 +<br>
176 +Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein:
177 +<br>
178 +{{formula}}
179 +h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b
180 +{{/formula}}
181 +<br>
182 +Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt
183 +<br>
184 +{{formula}}
185 +4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b
186 +{{/formula}}
187 +<br>
188 +Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
189 +<br>
190 +{{formula}}
191 +b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
192 +{{/formula}}
193 +<p></p>
194 +Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
195 +<br>
196 +{{formula}}
197 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
198 +{{/formula}}
199 +<br>
200 +Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
201 +<br>
202 +{{formula}}
203 +b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3
204 +{{/formula}}
205 +<br>
206 +Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}:
207 +{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}}
208 +<p></p>
209 +Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}}
210 +<p></p>
211 +//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
162 162  {{/detail}}
163 163  
164 164  == 1.3 ==
... ... @@ -167,7 +167,7 @@
167 167  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
168 168  <br><p>
169 169  Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
170 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
220 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
171 171  </p>
172 172  Daher {{formula}}
173 173  A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
... ... @@ -176,7 +176,22 @@
176 176  
177 177  
178 178  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
179 -
229 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
230 +<br>
231 +Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
232 +<br>
233 +Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}}
234 +<br>
235 +Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}}
236 +<br>
237 +...
238 +<br>
239 +Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
240 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
241 +<p></p>
242 +Daher {{formula}}
243 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
244 +{{/formula}}.
180 180  {{/detail}}
181 181  
182 182  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -197,7 +197,23 @@
197 197  
198 198  
199 199  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
200 -
265 +Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
266 +<br>
267 +Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
268 +<br>
269 +{{formula}}
270 +\begin{align*}
271 +81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
272 +\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
273 +\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
274 +\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
275 +\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
276 +\end{align*}
277 +{{/formula}}
278 +<br>
279 +Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
280 +<p></p>
281 +//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
201 201  {{/detail}}
202 202  
203 203