Änderungen von Dokument Lösung Analysis
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -10,6 +10,12 @@ 10 10 11 11 12 12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 13 +//Aufgabenstellung// 14 +<br><p> 15 +Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann. 16 +</p> 17 +//Lösung// 18 +<br> 13 13 Mögliche Argumente: 14 14 <br> 15 15 * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. ... ... @@ -31,6 +31,14 @@ 31 31 32 32 33 33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 40 +//Aufgabenstellung// 41 +<br><p> 42 +Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor. 43 +<br> 44 +Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an. 45 +</p> 46 +//Lösung// 47 +<br> 34 34 Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}. 35 35 Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}. 36 36 {{/detail}} ... ... @@ -52,6 +52,12 @@ 52 52 53 53 54 54 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 69 +//Aufgabenstellung// 70 +<br><p> 71 +Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft. 72 +</p> 73 +//Lösung// 74 +<br> 55 55 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. 56 56 <br> 57 57 Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben. ... ... @@ -75,6 +75,14 @@ 75 75 76 76 77 77 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 98 +//Aufgabenstellung// 99 +<br><p> 100 +Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}. 101 +<br> 102 +Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}. 103 +</p> 104 +//Lösung// 105 +<br> 78 78 Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird. 79 79 [[image:1.2a.png||width="300"]] 80 80 {{/detail}} ... ... @@ -105,6 +105,12 @@ 105 105 106 106 107 107 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 136 +//Aufgabenstellung// 137 +<br><p> 138 +Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist. 139 +</p> 140 +//Lösung// 141 +<br> 108 108 Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}. 109 109 <br> 110 110 Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}} ... ... @@ -159,6 +159,12 @@ 159 159 160 160 161 161 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 196 +//Aufgabenstellung// 197 +<br><p> 198 +Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann. 199 +</p> 200 +//Lösung// 201 +<br> 162 162 Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. 163 163 <br> 164 164 Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: ... ... @@ -173,18 +173,12 @@ 173 173 y = -4\sin(u)\cdot x + b 174 174 {{/formula}} 175 175 <br> 176 - Nunsetzen wirdenPunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}in dieTangentengleichung ein:216 +Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt: 177 177 <br> 178 178 {{formula}} 179 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b 219 +h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4 180 180 {{/formula}} 181 181 <br> 182 -Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt 183 -<br> 184 -{{formula}} 185 -4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b 186 -{{/formula}} 187 -<br> 188 188 Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: 189 189 <br> 190 190 {{formula}} ... ... @@ -226,6 +226,14 @@ 226 226 227 227 228 228 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 263 +//Aufgabenstellung// 264 +<br><p> 265 +Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert. 266 +<p></p> 267 + Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt. 268 +</p> 269 +//Lösung// 270 +<br> 229 229 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 230 230 <br> 231 231 Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} ... ... @@ -262,6 +262,12 @@ 262 262 263 263 264 264 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 307 +//Aufgabenstellung// 308 +<br><p> 309 +Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat. 310 +</p> 311 +//Lösung// 312 +<br> 265 265 Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} 266 266 <br> 267 267 Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: