Änderungen von Dokument Lösung Analysis
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -50,7 +50,6 @@ 50 50 {{/formula}} 51 51 {{/detail}} 52 52 53 - 54 54 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 55 55 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. 56 56 <br> ... ... @@ -147,11 +147,11 @@ 147 147 {{/formula}} 148 148 <br> 149 149 {{formula}} 150 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \u_2 = \frac{\pi}{2}149 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2} 151 151 {{/formula}} 152 152 <br><p> 153 153 {{formula}} 154 -b(0) = 8;\ \b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}153 +b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max} 155 155 {{/formula}} 156 156 </p> 157 157 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// ... ... @@ -159,56 +159,7 @@ 159 159 160 160 161 161 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 162 -Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. 163 -<br> 164 -Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: 165 -<br> 166 - {{formula}} 167 -h'(u) = -4 \cdot \sin(u) 168 -{{/formula}} 169 -<br> 170 -Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: 171 -<br> 172 -{{formula}} 173 -y = -4\sin(u)\cdot x + b 174 -{{/formula}} 175 -<br> 176 -Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein: 177 -<br> 178 -{{formula}} 179 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b 180 -{{/formula}} 181 -<br> 182 -Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt 183 -<br> 184 -{{formula}} 185 -4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b 186 -{{/formula}} 187 -<br> 188 -Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: 189 -<br> 190 -{{formula}} 191 -b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 192 -{{/formula}} 193 -<p></p> 194 -Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion: 195 -<br> 196 -{{formula}} 197 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} 198 -{{/formula}} 199 -<br> 200 -Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert: 201 -<br> 202 -{{formula}} 203 -b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3 204 -{{/formula}} 205 -<br> 206 -Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}: 207 -{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}} 208 -<p></p> 209 -Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}} 210 -<p></p> 211 -//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// 161 + 212 212 {{/detail}} 213 213 214 214 == 1.3 == ... ... @@ -217,7 +217,7 @@ 217 217 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 218 218 <br><p> 219 219 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 220 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.170 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} 221 221 </p> 222 222 Daher {{formula}} 223 223 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n ... ... @@ -226,22 +226,7 @@ 226 226 227 227 228 228 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 229 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 230 -<br> 231 -Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} 232 -<br> 233 -Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} 234 -<br> 235 -Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}} 236 -<br> 237 -... 238 -<br> 239 -Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 240 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird. 241 -<p></p> 242 -Daher {{formula}} 243 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n 244 -{{/formula}}. 179 + 245 245 {{/detail}} 246 246 247 247 === Teilaufgabe b) === ... ... @@ -262,23 +262,7 @@ 262 262 263 263 264 264 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 265 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} 266 -<br> 267 -Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: 268 -<br> 269 -{{formula}} 270 -\begin{align*} 271 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ 272 -\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ 273 -\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ 274 -\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ 275 -\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 276 -\end{align*} 277 -{{/formula}} 278 -<br> 279 -Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. 280 -<p></p> 281 -//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. // 200 + 282 282 {{/detail}} 283 283 284 284