2025 gAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz I

Aufgabe 1  Lineare Algebra

Gegeben sind die Gerade \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \), \( r \in \mathbb{R} \) und die Punkte \( A(5|-\!1|4) \), \( B(1|1|0) \) und \( C(0|3|2) \).

1. [3 BE] Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von \( g \) mit den Koordinatenebenen.
2. [4 BE] \( h \) ist die Gerade durch \( A \) und \( B \).
   Zeige, dass \( g \) und \( h \) zueinander windschief sind.
3. [2 BE] Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur \( x_{1}x_{3} \)-Ebene ist und von \( C \) den Abstand \( 2 \) hat.

Es gilt: \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \). 

4. [2 BE] Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
   \( \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| \)
   berechnet wird.
5. [4 BE] Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte \( A \), \( B \) und \( C \) liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks \( ABC \) liegt.