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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,100 +1,35 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 3  {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 -<p></p>
5 -{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
4 +<br>
5 +{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -<p>
11 -//Aufgabenstellung//
12 -<br>
13 -Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
14 -</p>
15 -//Lösung//
16 -<br>
17 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
18 -<p></p>
19 -Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
20 -<br>
21 -{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
22 -<br>
23 -Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
24 -<br>
25 -{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
26 -<p></p>
27 -Analog ergibt sich der Schnittpunkt mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, indem wir die dritte Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen:
28 -<br>
29 -{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
30 -<br>
31 -{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
32 -<p></p>
33 -Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
34 -{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}.
10 +
35 35  {{/detail}}
36 36  
37 37  === Teilaufgabe b) ===
38 38  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
39 -<p>
40 40  {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
41 41  \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
42 -\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
17 +\end{pmatrix},
18 +; \ r \in \mathbb{R}
43 43  {{/formula}}
44 -</p>
20 +
45 45  Das LGS
46 46  {{formula}}
47 47  \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
48 48  {{/formula}}
49 49  hat keine Lösung.
50 -<br>
26 +
51 51  Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
52 52  {{/detail}}
53 53  
54 54  
55 55  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
56 -<p>
57 -//Aufgabenstellung//
58 -<br>
59 -{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
60 -Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
61 -</p>
62 -//Lösung//
63 -<br>
64 -Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
65 -<br>
66 -{{formula}}
67 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
68 -{{/formula}}
69 -<p></p>
70 -Somit:
71 -<br>
72 -{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
73 -\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
74 -\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
75 -{{/formula}}
76 -<p></p>
77 -Wir setzen die beiden Geraden gleich
78 -<br>
79 -{{formula}}
80 -\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
81 -{{/formula}}
82 -<br>
83 -und erhalten dadurch das LGS
84 -<br>
85 -{{formula}}
86 -\begin{array}{rll}
87 --1 + s = 5 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (1) \ s + 4r = 6 \\
88 --2 = -1 + 2r & \quad \Leftrightarrow \quad & (2) \ -2r = 1 \\
89 -5 + s = 4 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (3) \ s + 4r = -1
90 -\end{array}
91 -{{/formula}}
92 -<br>
93 -Subtrahiert man Zeile {{formula}}(3){{/formula}} von Zeile {{formula}}(1){{/formula}}, so erhält man die falsche Aussage {{formula}}0=7{{/formula}}.
94 -<br>
95 -Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
96 -<br>
97 -Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind zudem nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
32 +
98 98  {{/detail}}
99 99  
100 100  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -108,39 +108,7 @@
108 108  
109 109  
110 110  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
111 -<p>
112 -//Aufgabenstellung//
113 -<br>
114 -Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
115 -</p>
116 -//Lösung//
117 -<br>
118 -Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
119 -<br>
120 -Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
121 -<p></p>
122 -Damit die Ebene von {{formula}}C{{/formula}} den Abstand {{formula}}2{{/formula}} hat, wählen wir, ausgehend vom Punkt {{formula}}C(0|3|2){{/formula}}, als Stützvektor entweder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}{{/formula}} oder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}{{/formula}}, damit die Differenz der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten {{formula}}2{{/formula}} ist.
123 -<p></p>
124 -Somit ist eine mögliche Lösung
125 -<br>
126 -{{formula}}E: \ \vec x =
127 -\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
128 -\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
129 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
130 -{{/formula}}
131 -<br>
132 -Eine weitere Lösung wäre
133 -<br>
134 -{{formula}}E_2: \ \vec x =
135 -\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
136 -\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
137 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
138 -{{/formula}}
139 -
140 -<div style="height: 30px;"></div>
141 -Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
142 -<br>
143 -{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
46 +
144 144  {{/detail}}
145 145  
146 146  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -150,20 +150,7 @@
150 150  
151 151  
152 152  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
153 -<p>
154 -//Aufgabenstellung//
155 -<br>
156 -Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
157 -<br>
158 -Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
159 -{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
160 -berechnet wird.
161 -</p>
162 -//Lösung//
163 -<br>
164 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
165 -<br>
166 -Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
56 +
167 167  {{/detail}}
168 168  
169 169  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -173,7 +173,7 @@
173 173  {{formula}}
174 174  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
175 175  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
176 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
66 +\bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
177 177  {{/formula}}
178 178  <p>
179 179  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -185,39 +185,5 @@
185 185  
186 186  
187 187  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
188 -<p>
189 -//Aufgabenstellung//
190 -<br>
191 - Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
192 -</p>
193 -//Lösung//
194 -<br>
195 -Skizze:
196 -<br>
197 -[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
198 -<br>
199 -Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
200 -<br>
201 -Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
202 -<br>
203 -{{formula}}
204 -\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
205 -\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
206 -{{/formula}}
207 -<p></p>
208 -Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
209 -<br>
210 -{{formula}}
211 -\begin{align*}
212 -&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
213 -&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
214 -&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
215 -\end{align*}
216 -{{/formula}}
217 -<p>
218 -Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
219 -Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
220 -</p>
221 -Hinweis:
222 -Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
78 +
223 223  {{/detail}}
SkizzeKreis (1).svg
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -7.8 KB
Inhalt
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="562" height="558"><defs><clipPath id="fwrlIlnFlkyZ"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 562 0 L 562 558 L 0 558 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#fwrlIlnFlkyZ)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="562" height="558" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 486.78975246059804 263.5558029039587 C 486.78975246059804 374.44807012479384 396.8938080663022 464.3440145190899 286.0015408454674 464.3440145190899 C 175.10927362463258 464.3440145190899 85.21332923033677 374.44807012479384 85.21332923033677 263.5558029039587 C 85.21332923033677 152.66353568312354 175.10927362463258 62.76759128882745 286.0015408454674 62.76759128882745 C 396.8938080663022 62.76759128882745 486.78975246059804 152.66353568312354 486.78975246059804 263.5558029039587 Z" 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