Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,11 +1,13 @@
1	1	=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		-[[image:beispiel.jpg]]
	3	+[[image:Lösunga).png||width="250"]]
4	4	{{/detail}}
5	5
6	6
7	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8		-
	8	+Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
	9	+<br>
	10	+[[image:Lösunga).png||width="250"]]
9	9	{{/detail}}
10	10
11	11	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -21,7 +21,19 @@
21	21
22	22
23	23	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24		-
	26	+Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
	27	+<br>
	28	+Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
	29	+<br>
	30	+{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
	31	+\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	32	+<br>
	33	+Da
	34	+{{formula}}
	35	+\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
	36	+{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
	37	+<br>
	38	+Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
25	25	{{/detail}}
26	26
27	27	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -28,7 +28,7 @@
28	28	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29	29	<p>
30	30	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
31		-orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	45	+orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
32	32	</p>
33	33	{{formula}}
34	34	\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -43,7 +43,26 @@
43	43
44	44
45	45	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
46		-
	60	+{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
	61	+<br>
	62	+Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	63	+<br>
	64	+Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
	65	+<br>
	66	+{{formula}}
	67	+\begin{align*}
	68	+\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
	69	+\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
	70	+\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
	71	+\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
	72	+= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
	73	+\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
	74	+&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
	75	+\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
	76	+\end{align*}
	77	+{{/formula}}
	78	+<br>
	79	+Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.
47	47	{{/detail}}
48	48
49	49	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -54,7 +54,11 @@
54	54
55	55
56	56	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
57		-
	90	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
	91	+<br>
	92	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
	93	+<br>
	94	+Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
58	58	{{/detail}}
59	59
60	60	=== Teilaufgabe e) ===