Lösung Lineare Algebra

Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.

Beachte beim Zeichnen, dass die \(x_1\)-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.

Zeige, dass die Seitenfläche \( ADHE \) ein Trapez ist.

Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten \(AD\) und \(EH\) parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{EH}\) Vielfache von einander sind:
\(\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\)
Da \(\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}\) gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
Damit ist das Viereck \(ADHE\) ein Trapez.

\(\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; \) orthogonale Projektion von \(\overrightarrow{BF}\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene: \(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \)

Beurteile die folgende Aussage: Die Kante \( BF \) schließt mit der \( x_{1}x_{2} \)-Ebene einen Winkel von mehr als \( 81^\circ \) ein.

\(\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\)
Die orthogonale Projektion von \(\overrightarrow{BF}\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene erhalten wir, indem wir die \(x_3\)-Koordinate gleich null setzen: \(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \)
Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
\(\begin{align*} \cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{ \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} = \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\ &= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\ \Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ \end{align*}\)

Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
\( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] \)

Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch \(B\) und \(H\) (Stützvektor \(\overrightarrow{OB}\), Richtungsvektor \(\overrightarrow{BH}\)). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch \(C\) und \(E\) (Stützvektor \(\overrightarrow{OC}\), Richtungsvektor \(\overrightarrow{CE}\)).
Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte \(B\) und \(H\) bzw. \(C\) und \(E\) verbinden, kreuzen.

Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.

Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche \(ABCD\) lautet \(M_{unten}(2|2|0)\).
Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt \(M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0)\) mit Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).
Die Koordinaten des gesuchten Punktes \(P\) haben also die Form \(P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8\).
Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle \(t\) direkt bis \(4\) begrenzen statt bis \(8\), also \(0 \le t \le 4\).

Wir suchen nun das \(t\), für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. \(A\)) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. \(E\)):
\(\begin{align*} & \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\ & \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\ & \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\ & \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\ & \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\ & \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\ & \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\ & \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8} \end{align*}\)
Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt \(\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right)\) befestigt werden.