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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
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am 2026/01/15 18:38
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,7 +5,15 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -
8 +//Aufgabenstellung//
9 +<br><p>
10 +Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 +</p>
12 +//Lösung//
13 +<br><p>
14 +Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
15 +<br>
16 +[[image:Lösunga).png||width="250"]]
9 9  {{/detail}}
10 10  
11 11  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -21,7 +21,25 @@
21 21  
22 22  
23 23  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24 -
32 +//Aufgabenstellung//
33 +<br><p>
34 +Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 +</p>
36 +//Lösung//
37 +<br><p>
38 +Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
39 +<br>
40 +Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
41 +<br>
42 +{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
43 +\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
44 +<br>
45 +Da
46 +{{formula}}
47 +\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
48 +{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
49 +<br>
50 +Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
25 25  {{/detail}}
26 26  
27 27  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -28,7 +28,7 @@
28 28  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 29  <p>
30 30  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
31 -orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
57 +orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
32 32  </p>
33 33  {{formula}}
34 34  \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -43,7 +43,28 @@
43 43  
44 44  
45 45  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
46 -
72 +//Aufgabenstellung//
73 +<br><p>
74 +Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 +</p>
76 +//Lösung//
77 +<br><p>
78 +{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 +<br>
80 +Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 +<br>
82 +{{formula}}
83 +\begin{align*}
84 +\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
85 +\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
86 +\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
87 +\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
88 += \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
89 +\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
90 +&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
91 +\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
92 +\end{align*}
93 +{{/formula}}
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -54,12 +54,35 @@
54 54  
55 55  
56 56  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
57 -
104 +//Aufgabenstellung//
105 +<br><p>
106 +Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
107 +<br>
108 +Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
109 +<br>
110 +{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
111 +</p>
112 +//Lösung//
113 +<br><p>
114 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
115 +<br>
116 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
117 +<br>
118 +Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
58 58  {{/detail}}
59 59  
60 60  === Teilaufgabe e) ===
61 61  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
62 -<p>
123 +//Aufgabenstellung//
124 +<br><p>
125 +Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
126 +<br>
127 +Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
128 +<br>
129 +{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
130 +</p>
131 +//Lösung//
132 +<br><p>
63 63  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
64 64  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
65 65  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -80,5 +80,32 @@
80 80  
81 81  
82 82  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
83 -
153 +Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 +<br>
155 +Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
156 +{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
157 +<br>
158 +Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
159 +{{formula}}
160 +P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 +{{/formula}}.
162 +<br>
163 +//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
164 +<p></p>
165 +Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 +<br>
167 +{{formula}}
168 +\begin{align*}
169 +& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
170 +& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
171 +& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
172 +& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
173 +& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
174 +& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
175 +& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
176 +& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
177 +\end{align*}
178 +{{/formula}}
179 +<br>
180 +Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
84 84  {{/detail}}