Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra
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... ... @@ -42,7 +42,7 @@ 42 42 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 43 43 <p> 44 44 {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}} 45 -orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x ,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}45 +orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}} 46 46 </p> 47 47 {{formula}} 48 48 \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot ... ... @@ -57,7 +57,22 @@ 57 57 58 58 59 59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 60 - 60 +{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}} 61 +<br> 62 +Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}} 63 +<br> 64 +{{formula}} 65 +\begin{align*} 66 +\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot 67 +\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{ 68 +\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot 69 +\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} 70 += \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot 71 +\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\ 72 +&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\ 73 +\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ 74 +\end{align*} 75 +{{/formula}} 61 61 {{/detail}} 62 62 63 63 === Teilaufgabe d) ===