Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -42,7 +42,7 @@
42	42	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
43	43	<p>
44	44	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
45		-orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	45	+orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
46	46	</p>
47	47	{{formula}}
48	48	\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -57,7 +57,22 @@
57	57
58	58
59	59	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60		-
	60	+{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
	61	+<br>
	62	+Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	63	+<br>
	64	+{{formula}}
	65	+\begin{align*}
	66	+\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
	67	+\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
	68	+\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
	69	+\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
	70	+= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
	71	+\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
	72	+&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
	73	+\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
	74	+\end{align*}
	75	+{{/formula}}
61	61	{{/detail}}
62	62
63	63	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -68,7 +68,11 @@
68	68
69	69
70	70	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71		-
	86	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
	87	+<br>
	88	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
	89	+<br>
	90	+Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
72	72	{{/detail}}
73	73
74	74	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -94,5 +94,32 @@
94	94
95	95
96	96	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
97		-
	116	+Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
	117	+<br>
	118	+Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
	119	+{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
	120	+<br>
	121	+Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
	122	+{{formula}}
	123	+P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
	124	+{{/formula}}.
	125	+<br>
	126	+//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
	127	+<p></p>
	128	+Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
	129	+<br>
	130	+{{formula}}
	131	+\begin{align*}
	132	+& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
	133	+& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
	134	+& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
	135	+& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
	136	+& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
	137	+& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
	138	+& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
	139	+& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
	140	+\end{align*}
	141	+{{/formula}}
	142	+<br>
	143	+Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
98	98	{{/detail}}