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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
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am 2026/01/14 22:17
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am 2026/01/15 18:41
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,7 +5,13 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
8 +//Aufgabenstellung//
9 +<br><p>
10 +Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 +</p>
12 +//Lösung//
13 +<br><p>
14 +Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
9 9  <br>
10 10  [[image:Lösunga).png||width="250"]]
11 11  {{/detail}}
... ... @@ -23,6 +23,12 @@
23 23  
24 24  
25 25  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 +//Aufgabenstellung//
33 +<br><p>
34 +Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 +</p>
36 +//Lösung//
37 +<br><p>
26 26  Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
27 27  <br>
28 28  Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
... ... @@ -42,7 +42,7 @@
42 42  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
43 43  <p>
44 44  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
45 -orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
57 +orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
46 46  </p>
47 47  {{formula}}
48 48  \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -57,7 +57,28 @@
57 57  
58 58  
59 59  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60 -
72 +//Aufgabenstellung//
73 +<br><p>
74 +Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 +</p>
76 +//Lösung//
77 +<br><p>
78 +{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 +<br>
80 +Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 +<br>
82 +{{formula}}
83 +\begin{align*}
84 +\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
85 +\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
86 +\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
87 +\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
88 += \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
89 +\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
90 +&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
91 +\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
92 +\end{align*}
93 +{{/formula}}
61 61  {{/detail}}
62 62  
63 63  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -68,12 +68,25 @@
68 68  
69 69  
70 70  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 -
104 +//Aufgabenstellung//
105 +<br><p>
106 +Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
107 +<br>
108 +Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
109 +<br>
110 +{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
111 +</p>
112 +//Lösung//
113 +<br><p>
114 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
115 +<br>
116 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
117 +<br>
118 +Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
72 72  {{/detail}}
73 73  
74 74  === Teilaufgabe e) ===
75 75  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
76 -<p>
77 77  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
78 78  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
79 79  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -94,5 +94,40 @@
94 94  
95 95  
96 96  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
97 -
143 +//Aufgabenstellung//
144 +<br><p>
145 +Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
146 +<br>
147 +Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
148 +</p>
149 +//Lösung//
150 +<br><p>
151 +Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
152 +<br>
153 +Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
154 +{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
155 +<br>
156 +Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
157 +{{formula}}
158 +P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
159 +{{/formula}}.
160 +<br>
161 +//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
162 +<p></p>
163 +Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
164 +<br>
165 +{{formula}}
166 +\begin{align*}
167 +& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
168 +& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
169 +& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
170 +& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
171 +& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
172 +& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
173 +& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
174 +& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
175 +\end{align*}
176 +{{/formula}}
177 +<br>
178 +Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
98 98  {{/detail}}