Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -5,9 +5,7 @@
5	5
6	6
7	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8		-Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
9		-<br>
10		-[[image:Lösunga).png||width="250"]]
	8	+
11	11	{{/detail}}
12	12
13	13	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -23,19 +23,7 @@
23	23
24	24
25	25	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
26		-Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
27		-<br>
28		-Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
29		-<br>
30		-{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
31		-\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
32		-<br>
33		-Da
34		-{{formula}}
35		-\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
36		-{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
37		-<br>
38		-Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
	24	+
39	39	{{/detail}}
40	40
41	41	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -42,7 +42,7 @@
42	42	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
43	43	<p>
44	44	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
45		-orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	31	+orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
46	46	</p>
47	47	{{formula}}
48	48	\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -57,22 +57,7 @@
57	57
58	58
59	59	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60		-{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
61		-<br>
62		-Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
63		-<br>
64		-{{formula}}
65		-\begin{align*}
66		-\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
67		-\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
68		-\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
69		-\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
70		-= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
71		-\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
72		-&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
73		-\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
74		-\end{align*}
75		-{{/formula}}
	46	+
76	76	{{/detail}}
77	77
78	78	=== Teilaufgabe d) ===