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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/15 15:07
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,7 +5,13 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
8 +//Aufgabenstellung//
9 +<br><p>
10 +Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 +</p>
12 +//Lösung//
13 +<br><p>
14 +Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
9 9  <br>
10 10  [[image:Lösunga).png||width="250"]]
11 11  {{/detail}}
... ... @@ -23,6 +23,12 @@
23 23  
24 24  
25 25  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 +//Aufgabenstellung//
33 +<br><p>
34 +Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 +</p>
36 +//Lösung//
37 +<br><p>
26 26  Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
27 27  <br>
28 28  Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
... ... @@ -57,10 +57,18 @@
57 57  
58 58  
59 59  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 +//Aufgabenstellung//
73 +<br><p>
74 +Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 +</p>
76 +//Lösung//
77 +<br><p>
60 60  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
61 61  <br>
62 62  Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
63 63  <br>
82 +Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
83 +<br>
64 64  {{formula}}
65 65  \begin{align*}
66 66  \cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -83,12 +83,25 @@
83 83  
84 84  
85 85  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 -
106 +//Aufgabenstellung//
107 +<br><p>
108 +Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
109 +<br>
110 +Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
111 +<br>
112 +{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
113 +</p>
114 +//Lösung//
115 +<br><p>
116 +Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
117 +<br>
118 +Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
119 +<br>
120 +Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
87 87  {{/detail}}
88 88  
89 89  === Teilaufgabe e) ===
90 90  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
91 -<p>
92 92  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
93 93  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
94 94  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -109,5 +109,40 @@
109 109  
110 110  
111 111  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
112 -
145 +//Aufgabenstellung//
146 +<br><p>
147 +Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
148 +<br>
149 +Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
150 +</p>
151 +//Lösung//
152 +<br><p>
153 +Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 +<br>
155 +Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
156 +{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
157 +<br>
158 +Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
159 +{{formula}}
160 +P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 +{{/formula}}.
162 +<br>
163 +//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}, also {{formula}}0 \le t \le 4{{/formula}}.//
164 +<p></p>
165 +Wir suchen nun das {{formula}}t{{/formula}}, für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 +<br>
167 +{{formula}}
168 +\begin{align*}
169 +& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
170 +& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
171 +& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
172 +& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
173 +& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
174 +& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
175 +& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
176 +& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
177 +\end{align*}
178 +{{/formula}}
179 +<br>
180 +Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
113 113  {{/detail}}