Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -61,8 +61,6 @@
61	61	<br>
62	62	Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
63	63	<br>
64		-Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
65		-<br>
66	66	{{formula}}
67	67	\begin{align*}
68	68	\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -75,8 +75,6 @@
75	75	\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
76	76	\end{align*}
77	77	{{/formula}}
78		-<br>
79		-Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.
80	80	{{/detail}}
81	81
82	82	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -117,5 +117,32 @@
117	117
118	118
119	119	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
120		-
	116	+Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
	117	+<br>
	118	+Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
	119	+{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
	120	+<br>
	121	+Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
	122	+{{formula}}
	123	+P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
	124	+{{/formula}}.
	125	+<br>
	126	+//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
	127	+<p></p>
	128	+Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
	129	+<br>
	130	+{{formula}}
	131	+\begin{align*}
	132	+& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
	133	+& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
	134	+& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
	135	+& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
	136	+& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
	137	+& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
	138	+& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
	139	+& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
	140	+\end{align*}
	141	+{{/formula}}
	142	+<br>
	143	+Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
121	121	{{/detail}}