Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -42,7 +42,7 @@
42	42	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
43	43	<p>
44	44	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
45		-orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
	45	+orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
46	46	</p>
47	47	{{formula}}
48	48	\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -57,22 +57,7 @@
57	57
58	58
59	59	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60		-{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
61		-<br>
62		-Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
63		-<br>
64		-{{formula}}
65		-\begin{align*}
66		-\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
67		-\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
68		-\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
69		-\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
70		-= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
71		-\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
72		-&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
73		-\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
74		-\end{align*}
75		-{{/formula}}
	60	+
76	76	{{/detail}}
77	77
78	78	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -83,11 +83,7 @@
83	83
84	84
85	85	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86		-Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
87		-<br>
88		-Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
89		-<br>
90		-Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
	71	+
91	91	{{/detail}}
92	92
93	93	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -113,32 +113,5 @@
113	113
114	114
115	115	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
116		-Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
117		-<br>
118		-Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
119		-{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
120		-<br>
121		-Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
122		-{{formula}}
123		-P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
124		-{{/formula}}.
125		-<br>
126		-//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
127		-<p></p>
128		-Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
129		-<br>
130		-{{formula}}
131		-\begin{align*}
132		-& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
133		-& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
134		-& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
135		-& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
136		-& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
137		-& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
138		-& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
139		-& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
140		-\end{align*}
141		-{{/formula}}
142		-<br>
143		-Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
	97	+
144	144	{{/detail}}