Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -61,6 +61,8 @@
61	61	<br>
62	62	Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
63	63	<br>
	64	+Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
	65	+<br>
64	64	{{formula}}
65	65	\begin{align*}
66	66	\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -73,6 +73,8 @@
73	73	\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
74	74	\end{align*}
75	75	{{/formula}}
	78	+<br>
	79	+Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.
76	76	{{/detail}}
77	77
78	78	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -113,32 +113,5 @@
113	113
114	114
115	115	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
116		-Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
117		-<br>
118		-Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
119		-{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
120		-<br>
121		-Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
122		-{{formula}}
123		-P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
124		-{{/formula}}.
125		-<br>
126		-//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
127		-<p></p>
128		-Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
129		-<br>
130		-{{formula}}
131		-\begin{align*}
132		-& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
133		-& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
134		-& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
135		-& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
136		-& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
137		-& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
138		-& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
139		-& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
140		-\end{align*}
141		-{{/formula}}
142		-<br>
143		-Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
	120	+
144	144	{{/detail}}