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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/15 18:38
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/15 18:25
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,12 +5,6 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 -</p>
12 -//Lösung//
13 -<br><p>
14 14  Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
15 15  <br>
16 16  [[image:Lösunga).png||width="250"]]
... ... @@ -29,12 +29,6 @@
29 29  
30 30  
31 31  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 -//Aufgabenstellung//
33 -<br><p>
34 -Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 -</p>
36 -//Lösung//
37 -<br><p>
38 38  Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
39 39  <br>
40 40  Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
... ... @@ -69,16 +69,12 @@
69 69  
70 70  
71 71  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 -//Aufgabenstellung//
73 -<br><p>
74 -Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 -</p>
76 -//Lösung//
77 -<br><p>
78 78  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 79  <br>
80 80  Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 81  <br>
64 +Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
65 +<br>
82 82  {{formula}}
83 83  \begin{align*}
84 84  \cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -91,6 +91,8 @@
91 91  \Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
92 92  \end{align*}
93 93  {{/formula}}
78 +<br>
79 +Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.
94 94  {{/detail}}
95 95  
96 96  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -101,16 +101,6 @@
101 101  
102 102  
103 103  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
104 -//Aufgabenstellung//
105 -<br><p>
106 -Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
107 -<br>
108 -Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
109 -<br>
110 -{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
111 -</p>
112 -//Lösung//
113 -<br><p>
114 114  Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
115 115  <br>
116 116  Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
... ... @@ -120,16 +120,7 @@
120 120  
121 121  === Teilaufgabe e) ===
122 122  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
123 -//Aufgabenstellung//
124 -<br><p>
125 -Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
126 -<br>
127 -Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
128 -<br>
129 -{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
130 -</p>
131 -//Lösung//
132 -<br><p>
99 +<p>
133 133  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
134 134  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
135 135  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -150,32 +150,5 @@
150 150  
151 151  
152 152  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
153 -Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 -<br>
155 -Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
156 -{{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
157 -<br>
158 -Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
159 -{{formula}}
160 -P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 -{{/formula}}.
162 -<br>
163 -//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
164 -<p></p>
165 -Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 -<br>
167 -{{formula}}
168 -\begin{align*}
169 -& \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
170 -& \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
171 -& \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
172 -& \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
173 -& \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
174 -& \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
175 -& \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
176 -& \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
177 -\end{align*}
178 -{{/formula}}
179 -<br>
180 -Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
120 +
181 181  {{/detail}}