Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
Von Version 7.4
bearbeitet von akukin
am 2026/01/15 18:57
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 5.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/15 18:36
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,13 +5,7 @@
5 5  
6 6  
7 7  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 -</p>
12 -//Lösung//
13 -<br><p>
14 -Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
8 +Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
15 15  <br>
16 16  [[image:Lösunga).png||width="250"]]
17 17  {{/detail}}
... ... @@ -29,12 +29,6 @@
29 29  
30 30  
31 31  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 -//Aufgabenstellung//
33 -<br><p>
34 -Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 -</p>
36 -//Lösung//
37 -<br><p>
38 38  Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
39 39  <br>
40 40  Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
... ... @@ -69,18 +69,10 @@
69 69  
70 70  
71 71  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 -//Aufgabenstellung//
73 -<br><p>
74 -Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 -</p>
76 -//Lösung//
77 -<br><p>
78 78  {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 79  <br>
80 80  Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 81  <br>
82 -Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
83 -<br>
84 84  {{formula}}
85 85  \begin{align*}
86 86  \cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
... ... @@ -103,25 +103,16 @@
103 103  
104 104  
105 105  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
106 -//Aufgabenstellung//
107 -<br><p>
108 -Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
86 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
109 109  <br>
110 -Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
88 +Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
111 111  <br>
112 -{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
113 -</p>
114 -//Lösung//
115 -<br><p>
116 -Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
117 -<br>
118 -Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
119 -<br>
120 120  Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
121 121  {{/detail}}
122 122  
123 123  === Teilaufgabe e) ===
124 124  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
95 +<p>
125 125  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
126 126  {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
127 127  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
... ... @@ -142,14 +142,6 @@
142 142  
143 143  
144 144  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
145 -//Aufgabenstellung//
146 -<br><p>
147 -Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
148 -<br>
149 -Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
150 -</p>
151 -//Lösung//
152 -<br><p>
153 153  Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 154  <br>
155 155  Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
... ... @@ -160,7 +160,7 @@
160 160  P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 161  {{/formula}}.
162 162  <br>
163 -//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}, also {{formula}}0 \le t \le 4{{/formula}}.//
126 +//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
164 164  <p></p>
165 165  Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 166  <br>