Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -11,7 +11,7 @@
11	11	</p>
12	12	//Lösung//
13	13	<br><p>
14		-Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
	14	+Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
15	15	<br>
16	16	[[image:Lösunga).png||width="250"]]
17	17	{{/detail}}
...	...	@@ -79,8 +79,6 @@
79	79	<br>
80	80	Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81	81	<br>
82		-Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
83		-<br>
84	84	{{formula}}
85	85	\begin{align*}
86	86	\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
...	...	@@ -113,9 +113,9 @@
113	113	</p>
114	114	//Lösung//
115	115	<br><p>
116		-Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
	114	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
117	117	<br>
118		-Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
	116	+Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
119	119	<br>
120	120	Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
121	121	{{/detail}}
...	...	@@ -122,6 +122,16 @@
122	122
123	123	=== Teilaufgabe e) ===
124	124	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	123	+//Aufgabenstellung//
	124	+<br><p>
	125	+Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
	126	+<br>
	127	+Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
	128	+<br>
	129	+{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
	130	+</p>
	131	+//Lösung//
	132	+<br><p>
125	125	Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
126	126	{{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
127	127	\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
...	...	@@ -142,14 +142,6 @@
142	142
143	143
144	144	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
145		-//Aufgabenstellung//
146		-<br><p>
147		-Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
148		-<br>
149		-Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
150		-</p>
151		-//Lösung//
152		-<br><p>
153	153	Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154	154	<br>
155	155	Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
...	...	@@ -160,9 +160,9 @@
160	160	P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161	161	{{/formula}}.
162	162	<br>
163		-//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}, also {{formula}}0 \le t \le 4{{/formula}}.//
	163	+//Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}.//
164	164	<p></p>
165		-Wir suchen nun das {{formula}}t{{/formula}}, für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
	165	+Wir suchen nun ein spezifisches {{formula}}t{{/formula}}, bei dem der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166	166	<br>
167	167	{{formula}}
168	168	\begin{align*}