Lösung Lineare Algebra

1

=== Teilaufgabe a) ===

2

3

[[image:Lösunga).png||width="250"]]

Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.

9

10

[[image:Lösunga).png||width="250"]]

11

12

13

=== Teilaufgabe b) ===

14

15

{{formula}}\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \

16

\overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \

17

\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},

18

19

also sind {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} parallel.

20

21

Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.

Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.

27

28

Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:

29

30

{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad

31

\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}

Da

\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}

36

{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.

37

38

Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.

39

40

41

=== Teilaufgabe c) ===

42

43

44

{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}

45

orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}

46

47

48

\cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot

49

\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{

50

\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot

51

\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \

52

\Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ

53

54

55

Die Behauptung ist falsch.

{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}

61

62

Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}

63

64

Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:

\begin{align*}

\cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot

69

\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{

70

\Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot

71

\left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}

72

= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot

73

\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\

74

&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\

75

\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ

\end{align*}

Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.

80

81

82

=== Teilaufgabe d) ===

83

84

Die Stäbe verbinden die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}}.

85

Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.

Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.

91

92

Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).

93

94

Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.

95

96

97

=== Teilaufgabe e) ===

98

99

100

Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt

101

{{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}

102

\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}

103

{{/formula}}.

104

Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form

105

106

P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4

{{/formula}}.

\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \

111

\sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} =

112

\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}

113

114

115

Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.

Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Hauptnavigation

Suchen

Zuletzt geändert

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	[[image:Lösunga).png\|\|width="250"]]
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
		9	<br>
		10	[[image:Lösunga).png\|\|width="250"]]
		11	{{/detail}}
		12
		13	=== Teilaufgabe b) ===
		14	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		15	{{formula}}\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \
		16	\overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \
		17	\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},
		18	{{/formula}}
		19	also sind {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} parallel.
		20	<br>
		21	Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
		22	{{/detail}}
		23
		24
		25	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		26	Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
		27	<br>
		28	Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
		29	<br>
		30	{{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
		31	\overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
		32	<br>
		33	Da
		34	{{formula}}
		35	\overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
		36	{{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
		37	<br>
		38	Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
		39	{{/detail}}
		40
		41	=== Teilaufgabe c) ===
		42	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		43	<p>
		44	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
		45	orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
		46	</p>
		47	{{formula}}
		48	\cos(\alpha)= \frac{\left\|\overrightarrow{BF} \cdot
		49	\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|}{
		50	\Bigl\| \overrightarrow{BF} \Bigr\| \cdot
		51	\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|} \
		52	\Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ
		53	{{/formula}}
		54	<br>
		55	Die Behauptung ist falsch.
		56	{{/detail}}
		57
		58
		59	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		60	{{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
		61	<br>
		62	Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
		63	<br>
		64	Mit der Formel im Merkheft berechnen wir nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
		65	<br>
		66	{{formula}}
		67	\begin{align*}
		68	\cos(\alpha) &= \frac{\left\|\overrightarrow{BF} \cdot
		69	\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|}{
		70	\Bigl\| \overrightarrow{BF} \Bigr\| \cdot
		71	\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right\|}
		72	= \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
		73	\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
		74	&= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
		75	\Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
		76	\end{align*}
		77	{{/formula}}
		78	<br>
		79	Die Aussage, dass {{formula}}BF{{/formula}} mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}}81^\circ{{/formula}} einschließt, ist somit falsch.
		80	{{/detail}}
		81
		82	=== Teilaufgabe d) ===
		83	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		84	Die Stäbe verbinden die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}}.
		85	Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.
		86	{{/detail}}
		87
		88
		89	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		90	Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
		91	<br>
		92	Die linke Seite der Gleichung ist die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
		93	<br>
		94	Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
		95	{{/detail}}
		96
		97	=== Teilaufgabe e) ===
		98	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		99	<p>
		100	Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
		101	{{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
		102	\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
		103	{{/formula}}.
		104	Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
		105	{{formula}}
		106	P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4
		107	{{/formula}}.
		108	</p>
		109	{{formula}}
		110	\Bigl\| \overrightarrow{AP} \Bigr\| = \Bigl\| \overrightarrow{EP} \Bigr\| \ \Leftrightarrow \
		111	\sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} =
		112	\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}
		113	{{/formula}}
		114	<br>
		115	Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
		116	{{/detail}}
		117
		118
		119	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		120
		121	{{/detail}}

unfertig	fertig
● ● ● ● ● ● ●