Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/18 19:24
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -9,7 +9,36 @@ 9 9 10 10 11 11 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 12 - 12 +//Aufgabenstellung// 13 +<br><p> 14 +Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. 15 +</p> 16 +//Lösung// 17 +<br> 18 +Folgende Informationen können wir direkt ablesen: 19 +* Der Sportverein hat 800 Mitglieder 20 +* 200 Mitglieder sind jugendlich 21 +* 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich 22 + 23 +Zudem wissen wir: 24 +* Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen. 25 +* Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich. 26 + 27 +Somit erhalten wir für die Vierfeldertafel: 28 +<br> 29 +(%class="border" style="text-align:center"%) 30 +| |Jugendliche|Erwachsene| Summe 31 +|Ehrenamt|||80 32 +|kein Ehrenamt||536| 33 +|Summe|200|600|800 34 + 35 +Die restlichen Felder können wir ausfüllen, indem wir die Zeilen- und Spaltensummen schrittweise ergänzen. 36 +(%class="border" style="text-align:center"%) 37 +| |Jugendliche|Erwachsene| Summe 38 +|Ehrenamt|16|64|80 39 +|kein Ehrenamt|184|536|720 40 +|Summe|200|600|800 41 + 13 13 {{/detail}} 14 14 15 15 === Teilaufgabe b) === ... ... @@ -21,7 +21,15 @@ 21 21 22 22 23 23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 24 - 53 +//Aufgabenstellung// 54 +<br><p> 55 +Beurteile, ob der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Sportverein engagieren, unter den erwachsenen Mitgliedern genauso groß ist wie unter den jugendlichen Mitgliedern. 56 +</p> 57 +//Lösung// 58 +<br><p> 59 +Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, {{formula}}\frac{16}{200}{{/formula}} beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, {{formula}}\frac{64}{600} {{/formula}} beträgt. 60 +<p></p> 61 +Da {{formula}}\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} {{/formula}}, ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer. 25 25 {{/detail}} 26 26 27 27 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -33,7 +33,21 @@ 33 33 34 34 35 35 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 36 - 73 +//Aufgabenstellung// 74 +<br><p> 75 +In einer Umkleidekabine treffen sich zufällig drei Mitglieder des Sportvereins. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei jugendlich sind. 76 +</p> 77 +//Lösung// 78 +<br><p> 79 +Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{200}{800}{{/formula}}. 80 +<br> 81 +Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{199}{799}{{/formula}} und die für die dritte Person {{formula}}\frac{198}{798}{{/formula}}. 82 +<p></p> 83 +Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel 84 +<br> 85 +{{formula}} 86 +P(alle drei jugendlich)=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154 87 +{{/formula}} 37 37 {{/detail}} 38 38 39 39 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -47,15 +47,39 @@ 47 47 48 48 49 49 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 50 - 101 +//Aufgabenstellung// 102 +<br><p> 103 +Dem Sportverein tritt eine Gruppe Erwachsener bei, die sich aber alle nicht ehrenamtlich engagieren. Dadurch steigt bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern der Anteil der Erwachsenen auf über 75%. Ermittle, wie viele Personen mindestens beigetreten sind. 104 +</p> 105 +//Lösung// 106 +<br><p> 107 +{{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren 108 +<p></p> 109 +Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}536 + k{{/formula}}. Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}720 + k{{/formula}}. 110 +<br> 111 +Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k}{{/formula}}. 112 +<p></p> 113 +Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}: 114 +<br> 115 +{{formula}} 116 +\begin{align*} 117 +\frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\ 118 +\Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\ 119 +\Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\ 120 +\Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\ 121 +\Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16 122 +\end{align*} 123 +{{/formula}} 124 +<br> 125 +Es sind mindestens 17 Personen eingetreten. 51 51 {{/detail}} 52 52 53 53 === Teilaufgabe e) === 54 54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 55 55 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten 56 -<br> <p>131 +<br> 57 57 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}. 58 -</p> 133 +<p></p> 59 59 {{formula}} 60 60 P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855 61 61 {{/formula}} ... ... @@ -67,5 +67,30 @@ 67 67 68 68 69 69 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 70 - 145 +//Aufgabenstellung// 146 +<br><p> 147 +Zur Jahreshauptversammlung des Sportvereins kommen insgesamt 75 Mitglieder. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmer, die für eine Beitragserhöhung stimmen werden, binomialverteilt ist mit {{formula}} p=0,6 {{/formula}}. 148 +<p></p> 149 +Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 150 +<br> 151 +A: Mindestens 41 Mitglieder stimmen für eine Beitragserhöhung. 152 +<br> 153 +B: Es stimmen mehr als 35 und höchstens 39 Mitglieder für eine Beitragserhöhung. 154 +</p> 155 +//Lösung// 156 +<br><p> 157 +{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten 158 +<br> 159 +{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}. 160 +<p></p> 161 +Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(A) = P(X \ge 41){{/formula}} und {{formula}}P(B) = P(35 < X \le 39){{/formula}}. Damit wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen können, schreiben wir sie wie folgt um: 162 +<p></p> 163 +{{formula}} 164 +P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855 165 +{{/formula}} 166 +<br> 167 +{{formula}} 168 +P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849 169 +{{/formula}} 71 71 {{/detail}} 171 +