Änderungen von Dokument Lösung Stochastik
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/18 19:24
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Inhalt
-
... ... @@ -9,36 +9,7 @@ 9 9 10 10 11 11 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 12 -//Aufgabenstellung// 13 -<br><p> 14 -Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. 15 -</p> 16 -//Lösung// 17 -<br> 18 -Folgende Informationen können wir direkt ablesen: 19 -* Der Sportverein hat 800 Mitglieder 20 -* 200 Mitglieder sind jugendlich 21 -* 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich 22 - 23 -Zudem wissen wir: 24 -* Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen. 25 -* Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich. 26 - 27 -Somit erhalten wir für die Vierfeldertafel: 28 -<br> 29 -(%class="border" style="text-align:center"%) 30 -| |Jugendliche|Erwachsene| Summe 31 -|Ehrenamt|||80 32 -|kein Ehrenamt||536| 33 -|Summe|200|600|800 34 - 35 -Die restlichen Felder können wir ausfüllen, indem wir die Zeilen- und Spaltensummen schrittweise ergänzen. 36 -(%class="border" style="text-align:center"%) 37 -| |Jugendliche|Erwachsene| Summe 38 -|Ehrenamt|16|64|80 39 -|kein Ehrenamt|184|536|720 40 -|Summe|200|600|800 41 - 12 + 42 42 {{/detail}} 43 43 44 44 === Teilaufgabe b) === ... ... @@ -50,15 +50,7 @@ 50 50 51 51 52 52 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 53 -//Aufgabenstellung// 54 -<br><p> 55 -Beurteile, ob der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Sportverein engagieren, unter den erwachsenen Mitgliedern genauso groß ist wie unter den jugendlichen Mitgliedern. 56 -</p> 57 -//Lösung// 58 -<br><p> 59 -Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, {{formula}}\frac{16}{200}{{/formula}} beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, {{formula}}\frac{64}{600} {{/formula}} beträgt. 60 -<p></p> 61 -Da {{formula}}\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} {{/formula}}, ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer. 24 + 62 62 {{/detail}} 63 63 64 64 === Teilaufgabe c) === ... ... @@ -70,21 +70,7 @@ 70 70 71 71 72 72 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 73 -//Aufgabenstellung// 74 -<br><p> 75 -In einer Umkleidekabine treffen sich zufällig drei Mitglieder des Sportvereins. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei jugendlich sind. 76 -</p> 77 -//Lösung// 78 -<br><p> 79 -Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{200}{800}{{/formula}}. 80 -<br> 81 -Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{199}{799}{{/formula}} und die für die dritte Person {{formula}}\frac{198}{798}{{/formula}}. 82 -<p></p> 83 -Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel 84 -<br> 85 -{{formula}} 86 -P(\text{alle drei jugendlich})=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154 87 -{{/formula}} 36 + 88 88 {{/detail}} 89 89 90 90 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -98,39 +98,15 @@ 98 98 99 99 100 100 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 101 -//Aufgabenstellung// 102 -<br><p> 103 -Dem Sportverein tritt eine Gruppe Erwachsener bei, die sich aber alle nicht ehrenamtlich engagieren. Dadurch steigt bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern der Anteil der Erwachsenen auf über 75%. Ermittle, wie viele Personen mindestens beigetreten sind. 104 -</p> 105 -//Lösung// 106 -<br><p> 107 -{{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren 108 -<p></p> 109 -Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}536 + k{{/formula}}. Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}720 + k{{/formula}}. 110 -<br> 111 -Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k}{{/formula}}. 112 -<p></p> 113 -Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}: 114 -<br> 115 -{{formula}} 116 -\begin{align*} 117 -\frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\ 118 -\Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\ 119 -\Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\ 120 -\Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\ 121 -\Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16 122 -\end{align*} 123 -{{/formula}} 124 -<br> 125 -Es sind mindestens 17 Personen eingetreten. 50 + 126 126 {{/detail}} 127 127 128 128 === Teilaufgabe e) === 129 129 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 130 130 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten 131 -<br> 56 +<br><p> 132 132 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}. 133 -< p></p>58 +</p> 134 134 {{formula}} 135 135 P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855 136 136 {{/formula}} ... ... @@ -142,30 +142,5 @@ 142 142 143 143 144 144 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 145 -//Aufgabenstellung// 146 -<br><p> 147 -Zur Jahreshauptversammlung des Sportvereins kommen insgesamt 75 Mitglieder. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmer, die für eine Beitragserhöhung stimmen werden, binomialverteilt ist mit {{formula}} p=0,6 {{/formula}}. 148 -<p></p> 149 -Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 150 -<br> 151 -A: Mindestens 41 Mitglieder stimmen für eine Beitragserhöhung. 152 -<br> 153 -B: Es stimmen mehr als 35 und höchstens 39 Mitglieder für eine Beitragserhöhung. 154 -</p> 155 -//Lösung// 156 -<br><p> 157 -{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten 158 -<br> 159 -{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}. 160 -<p></p> 161 -Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(A) = P(X \ge 41){{/formula}} und {{formula}}P(B) = P(35 < X \le 39){{/formula}}. Damit wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen können, schreiben wir sie wie folgt um: 162 -<p></p> 163 -{{formula}} 164 -P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855 165 -{{/formula}} 166 -<br> 167 -{{formula}} 168 -P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849 169 -{{/formula}} 70 + 170 170 {{/detail}} 171 -