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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/18 19:46
Von Version 8.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/18 20:34
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/13 10:38
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,6 +1,6 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 -[[image:Lösunga).png||width="150"]]
3 +[[image:Lösunga).png||width="150" style="float: right"]]
4 4  <p>
5 5  {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
6 6  </p><p>
... ... @@ -13,16 +13,6 @@
13 13  
14 14  
15 15  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
16 -//Aufgabenstellung//
17 -<br><p>
18 -Es werden drei Frühlingsrollen bestellt. Dabei soll untersucht werden, wie viele Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
19 -<br>
20 -Stelle den Sachverhalt durch ein geeignetes beschriftetes Baumdiagramm dar.
21 -<br>
22 -Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
23 -</p>
24 -//Lösung//
25 -<br>
26 26  {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
27 27  <br>
28 28  [[image:Lösunga).png||width="150"]]
... ... @@ -45,18 +45,8 @@
45 45  
46 46  
47 47  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
48 -//Aufgabenstellung//
49 -<br><p>
50 -Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses {{formula}}A{{/formula}} lässt sich wie folgt berechnen:
38 +Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
51 51  <br>
52 -{{formula}} P(A)=1-0,\!83^{20} {{/formula}}
53 -<br>
54 -Beschreibe in der Anwendungssituation ein passendes Zufallsexperiment sowie ein mögliches Ereignis {{formula}}A{{/formula}}.
55 -</p>
56 -//Lösung//
57 -<br>
58 -Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
59 -<br>
60 60  Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
61 61  <br>
62 62  Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
... ... @@ -86,13 +86,6 @@
86 86  
87 87  
88 88  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89 -//Aufgabenstellung//
90 -<br><p>
91 -Die Verbraucherzentrale kontrolliert stichprobenartig das Gewicht der Frühlingsrollen. Dazu werden in einer Stichprobe 1500 Frühlingsrollen untersucht. Es erfolgt eine Beanstandung, wenn die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der zu leichten Frühlingsrollen um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
92 -Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Beanstandung.
93 -</p>
94 -//Lösung//
95 -<br>
96 96  Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
97 97  <br>
98 98  Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
... ... @@ -107,7 +107,7 @@
107 107  E(X) + \sigma \approx 269{,}55
108 108  {{/formula}}
109 109  <br>
110 -Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
83 +Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichekit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
111 111  <br>
112 112  Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
113 113  {{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
... ... @@ -138,35 +138,5 @@
138 138  
139 139  
140 140  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
141 -//Aufgabenstellung//
142 -<br><p>
143 -Ermittle die Anzahl an Frühlingsrollen, die man mindestens kaufen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 20 Frühlingsrollen erhält, die das vorgegebene Gewicht einhalten.
144 -</p>
145 -//Lösung//
146 -<br>
147 -{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
148 -<br><p>
149 -{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
150 -</p>
151 -Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
152 -<br>
153 -{{formula}}
154 -\begin{align*}
155 -P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
156 -\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
157 -\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
158 -\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
159 -\end{align*}
160 -{{/formula}}
161 -<br>
162 -//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
163 -<br>
164 -Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
165 -
166 -(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
167 -|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
168 -|29|0,018
169 -|30|0,008
170 -
171 -Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
114 +
172 172  {{/detail}}