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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{aufgabe id="Gitterpunkte" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}} | ||
| 2 | Legt man **rechtwinklige Dreiecke** so auf ein Gitter, dass alle drei Eckpunkte auf einem Gitterpunkt landen, dann befindet sich bei manchen dieser Dreiecke **kein einziger** Gitterpunkt auf der **Hypotenuse**. | ||
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| 4 | {{lehrende}} | ||
| 5 | **__Variante 1:__ Offene Aufgabenstellung für den Unterricht/größere Klassenarbeitsaufgabe:** | ||
| 6 | Finden Sie für solche Dreiecke allgemeine Formeln, mit denen sich | ||
| 7 | *die Anzahl der Gitterpunkte auf dem **Rand** | ||
| 8 | *die Anzahl der Gitterpunkte im **Inneren des Dreiecks** | ||
| 9 | **in Abhängigkeit von der Länge** der beiden **Katheten** bestimmen lässt. | ||
| 10 | //Der horizontale/vertikale Abstand der Gitterpunkte beträgt eine Längeneinheit (1 LE).// | ||
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| 13 | **__Variante 2:__ Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Richtige Lösung finden** | ||
| 14 | Schüler*in 1 behauptet: Bei einem solchen rechtwinkligen Dreieck mit Katheten der Länge {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} gibt es {{formula}}a + b + 1{{/formula}} Gitterpunkte auf dem Rand und {{formula}}\frac{a\cdot b}{2}{{/formula}} Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks. | ||
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| 16 | Schüler*in 2 hält dagegen: Bei einem solchen rechtwinkligen Dreieck mit Katheten der Länge {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}} a {{/formula}} gibt es {{formula}} a + b - 1 {{/formula}} Gitterpunkte auf dem Rand und {{formula}} \frac{(a-1)\cdot (b-1)}{2}{{/formula}} Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks. | ||
| 17 | Analysiere und überprüfe die vier genannten Formeln (% style="color:red" %) (und vervollständige für die beiden korrekten Formeln jeweils den Lösungsweg). | ||
| 18 | (% style="color:black" %) | ||
| 19 | **__Variante 3:__ Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Richtigkeit der Lösung nachweisen** | ||
| 20 | Jemand behauptet: Ein solches rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Länge {{formula}} a {{/formula}} und {{formula}}b{{/formula}} besitzt {{formula}}a + b + 1{{/formula}} Gitterpunkte auf dem Rand und {{formula}} \frac{(a-1)\cdot (b-1)}{2}{{/formula}} Gitterpunkte im Inneren des Dreiecks. | ||
| 21 | Zeige, dass diese Behauptung richtig ist. | ||
| 22 | {{/lehrende}} | ||
| 23 | {{/aufgabe}} | ||
| 24 | |||
| 25 | {{aufgabe id="Verbindungsstrecken von Eckpunkten" afb="" zeit="" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}} | ||
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| 27 | Die Verbindungsstrecken zweier nicht benachbarter Eckpunkte eines Vielecks werden Diagonalen genannt. | ||
| 28 | {{lehrende}} | ||
| 29 | **__Variante 1:__ Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit** | ||
| 30 | Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck? | ||
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| 32 | **__Variante 2:__ Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung** | ||
| 33 | Ella und Jan haben ausgehend von einem 9-Eck zwei verschiedene Wege gefunden, um die Anzahl der Diagonalen zu berechnen: | ||
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| 35 | Ella: {{formula}} 6 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 27{{/formula}} | ||
| 36 | Jan: {{formula}} \frac{9 \cdot 6}{2}{{/formula}} | ||
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| 38 | Wie sind Ella und Jan auf ihre Formeln gekommen? Analysiere und vergleiche die beiden Lösungsbeispiele. | ||
| 39 | |||
| 40 | Übertrage beide Formeln für das 9-Eck auf eine allgemeine Formel für das n-Eck. | ||
| 41 | {{/lehrende}} | ||
| 42 | {{/aufgabe}} |